Determine a série de Fourier da função dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a série de Fourier da função
definida por:
A matéria envolvida aqui é a Análise de Séries de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Sabemos que
, então o período
é 4. A frequência fundamental
é dada por:
Então, a série de Fourier vai ter termos com múltiplos de
.
Passo 3
A série de Fourier geral para uma função periódica com período
é:
Onde:
-
é o termo constante (coeficiente de Fourier) -
são os coeficientes dos cossenos -
são os coeficientes dos senos
Vamos calcular cada um desses coeficientes.
Passo 4
Calculando
:
Vamos dividir a integral nos intervalos onde a função está definida:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 5
Calculando
:
Devido à natureza da função
, precisamos calcular a integral separadamente nos intervalos
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou utilizando tabelas de integrais, dependendo do nível de familiaridade.
Passo 6
Calculando
:
Novamente, dividimos a integral nos intervalos
e
:
Assim como para
, essas integrais podem ser resolvidas por métodos adequados.
Passo 7
Depois de calcular
,
e
, substituímos todos os valores na série de Fourier para obter a representação completa da função
.
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por:
Onde os coeficientes
e
são calculados pelas integrais apresentadas nos passos anteriores.
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Determine a série de Fourier da função dada:
no intervalo
A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode ser periódica. Dê um exemplo.
Em cada caso, mostre as extensões par e ímpar de
para um período igual a 2 L :
Determine a série de Fourier da função dada: