Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=ll-x / 2 & se -2 <= x<0 2 x-x^22 & se 0 <= x<2 f(x+4)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a série de Fourier da função f(x) = -x2 & se -2 <= x < 0 2x - x^22 & se 0 <= x < 2 e f(x + 4) = f(x) definida por:
A matéria envolvida aqui é a Análise de Séries de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Sabemos que omega0 = 2piT = 2pi4 = pi2 , então o período é 4. A frequência fundamental é dada por:
Então, a série de Fourier vai ter termos com múltiplos de .

Passo 3

A série de Fourier geral para uma função periódica com período f(x) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(nomega0 x) + bn sin(nomega0 x) ] é:
Onde:
  • é o termo constante (coeficiente de Fourier)
  • são os coeficientes dos cossenos
  • são os coeficientes dos senos
Vamos calcular cada um desses coeficientes.

Passo 4

Calculando a0 = 1T integral-2^2 f(x) , dx :
a0 = 14 ( integral-2^0 -x2 , dx + integral0^2 (2x - x^22) , dx )
Vamos dividir a integral nos intervalos onde a função está definida:
integral-2^0 -x2 , dx = -12 [ x^22 ]-2^0 = -12 (0 - 42) = -12 (-2) = 1
Calculando cada parte:
integral0^2 (2x - x^22) , dx = [ x^2 - x^36 ]0^2 = (4 - 86) - 0 = 4 - 43 = 83
a0 = 14 (1 + 83) = 14 cdot 113 = 1112
Então,

Passo 5

Calculando an = 2T integral-2^2 f(x) cos(nomega0 x) , dx = 12 integral-2^2 f(x) cos(npi x2) , dx :
an = 12 ( integral-2^0 -x2 cos(npi x2) , dx + integral0^2 (2x - x^22) cos(npi x2) , dx )
Devido à natureza da função , precisamos calcular a integral separadamente nos intervalos e :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou utilizando tabelas de integrais, dependendo do nível de familiaridade.

Passo 6

Calculando bn = 2T integral-2^2 f(x) sin(nomega0 x) , dx = 12 integral-2^2 f(x) sin(npi x2) , dx :
bn = 12 ( integral-2^0 -x2 sin(npi x2) , dx + integral0^2 (2x - x^22) sin(npi x2) , dx )
Novamente, dividimos a integral nos intervalos e :
Assim como para , essas integrais podem ser resolvidas por métodos adequados.

Passo 7

Depois de calcular , e , substituímos todos os valores na série de Fourier para obter a representação completa da função .

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = 1112 + sumn=1^infty [ an cos(npi x2) + bn sin(npi x2) ] é dada por:
Onde os coeficientes e são calculados pelas integrais apresentadas nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

Determine a série de Fourier da função dada:
f(x) = x no intervalo [-pi, pi]
A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode ser periódica. Dê um exemplo.
Em cada caso, mostre as extensões par e ímpar de f(x) para um período igual a 2 L :
f(x) = { x se 0 <= x < 2, 1 se 2 <= x <= 3 }
Determine a série de Fourier da função dada:
f(x) = sen^2 x