Determine a série de Fourier da função dada:
f(x) = sen^2 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente encontre a série de Fourier da função dada . Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma de termos senoidais e/ou cossenoidais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar expressões envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que relaciona o seno ao cosseno:
Essa é a fórmula de redução de potência para o seno ao quadrado. Ela é útil porque nos permite expressar em termos de , que é mais fácil de trabalhar na série de Fourier.

Passo 3

Usando a identidade acima, podemos reescrever a função :
Agora, a função está expressa como uma constante ( ) menos meio cosseno de .

Passo 4

A série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita como uma soma de termos senoidais e cossenoidais, com coeficientes que dependem da função. No caso de , já temos a função expressa em termos de cossenos, o que na verdade já representa a série de Fourier dessa função.

Passo 5

Portanto, a série de Fourier de é simplesmente a própria expressão que encontramos:

Resposta

A série de Fourier da função é:

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