Determine a série de Fourier da função dada:
f(x) = x no intervalo [-pi, pi]

Passo 1

Estamos querendo encontrar a série de Fourier da função no intervalo . Para isso, vamos precisar entender como expandir funções periódicas em uma soma de senos e cossenos e calcular os coeficientes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Observando que , vemos que a função é ímpar. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos senoidais (sem cossenos).

Passo 3

A série de Fourier para uma função ímpar é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente para nossa função :
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Vamos definir:

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
Calculando os limites:
E a integral:
Então:

Passo 6

Substituindo na série de Fourier, temos:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode ser periódica. Dê um exemplo.
Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=ll-1 & se -2 <= x <= 0 1 & se 0 <= x <= 2 0 & se f(x+4)=f(x)
Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=ll-x / 2 & se -2 <= x<0 2 x-x^22 & se 0 <= x<2 f(x+4)=f(x)
Em cada caso, mostre as extensões par e ímpar de f(x) para um período igual a 2 L :
f(x) = { x se 0 <= x < 2, 1 se 2 <= x <= 3 }