Determine a série de Fourier da função dada:
f(x) = x no intervalo [-pi, pi]

Passo 1

Estamos querendo encontrar a série de Fourier da função no intervalo . Para isso, vamos precisar entender como expandir funções periódicas em uma soma de senos e cossenos e calcular os coeficientes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Observando que , vemos que a função é ímpar. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos senoidais (sem cossenos).

Passo 3

A série de Fourier para uma função ímpar é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente para nossa função :
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Vamos definir:

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
Calculando os limites:
E a integral:
Então:

Passo 6

Substituindo na série de Fourier, temos:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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