Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) estendida na forma indicada.
Encontre a série de Fourier em senos com período 4 para a função: f(x) = 2 x^2 0 < x < 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a série de Fourier em senos para a função no intervalo com um período de 4. Isso significa que vamos trabalhar com séries de Fourier do tipo seno, que são úteis quando a função é estendida de forma ímpar fora do intervalo dado. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série utilizando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em senos para uma função com período (logo, ) é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
No nosso caso, e , então a fórmula fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usaremos o método de integração por partes, que diz:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:

Passo 4

Precisamos agora resolver a integral também por partes:
Aplicando novamente:
A última integral é:
Substituindo de volta:

Passo 5

Voltando ao passo anterior, temos:
Simplificando:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 2:
Substituindo e :
Sabemos que e , então:
Simplificando:

Resposta

A série de Fourier em senos para a função no período 4 é dada por:

Exercícios relacionados

Determine a série de Fourier da função dada:
f(x) = sen^2 x
Em cada caso, mostre as extensões par e ímpar de f(x) para um período igual a 2 L :
f(x) = { x se 0 <= x < 2, 1 se 2 <= x <= 3 }
Caleule a diferencial total nos casos: z = f(x, y) = x sen(y)
Caleule a diferencial total nos casos: w = f(x, y, z) = x^2 * x * y + z