Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
estendida na forma indicada.
Encontre a série de Fourier em senos com período 4 para a função:
Encontre a série de Fourier em senos com período 4 para a função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a série de Fourier em senos para a função
no intervalo
com um período de 4. Isso significa que vamos trabalhar com séries de Fourier do tipo seno, que são úteis quando a função é estendida de forma ímpar fora do intervalo dado. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série utilizando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em senos para uma função com período
(logo,
) é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
No nosso caso,
e
, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, usaremos o método de integração por partes, que diz:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Passo 4
Precisamos agora resolver a integral
também por partes:
Aplicando novamente:
A última integral é:
Substituindo de volta:
Passo 5
Voltando ao passo anterior, temos:
Simplificando:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 2:
Substituindo
e
:
Sabemos que
e
, então:
Simplificando:
Resposta
A série de Fourier em senos para a função
no período 4 é dada por:
Exercícios relacionados
Determine a série de Fourier da função dada:
Em cada caso, mostre as extensões par e ímpar de
para um período igual a 2 L :
Caleule a diferencial total nos casos:
Caleule a diferencial total nos casos: