Em cada caso, mostre que é inversível e calcule :
(a) ; Resp.: A^-1=(ccccos alpha & -sen alpha & 0 sen alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a matriz é inversível e, em seguida, calcular a sua inversa . Estamos lidando com matrizes e conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre inversibilidade. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e entender o que faz uma matriz ser inversível.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz A = cos alpha & sin alpha & 0 -sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
A matriz é:
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por co-fatores. Porém, observando a estrutura de det(A) = cos alpha cdot (cos alpha cdot 1 - 0 cdot 0) - sin alpha cdot (-sin alpha cdot 1 - 0 cdot 0) + 0 cdot ( -sin alpha cdot 0 - cos alpha cdot 0) , vemos que há muitos zeros, o que simplifica o cálculo.
Calculando o determinante de det(A) = cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1 :
Simplificando:
Passo 4
Como o determinante de é 1, e 1 é diferente de zero, isso significa que é, de fato, inversível.
Passo 5
Agora, vamos calcular a inversa A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) . Para uma matriz 3x3, a inversa pode ser calculada usando a fórmula:
A^-1 = Adj(A)
Onde é a adjunta de . Como , temos:
Passo 6
A adjunta Adj(A) = cos alpha & -sin alpha & 0 sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 é a transposta da matriz dos cofatores de A^-1 = cos alpha & -sin alpha & 0 sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 . Calculando os cofatores de :
Portanto, a inversa de é:
Resposta
A matriz A^-1 = cos alpha & -sin alpha & 0 sin alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1 é inversível e a sua inversa é: