Determinar, se possível, a inversa de cada matriz a seguir:
(b) B=(llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 1 & 2 & 4 & 0 1 & 2 & 4 & 8); Resp.: B^-1=(cccc1 & 0 & 0 & 0 -1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 0 & -1 / 4 & 1 / 4 & 0 0 & 0 & -1 / 8 & 1 / 8)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 4 e precisamos descobrir se ela tem uma matriz inversa. Se tiver, vamos determinar qual é essa inversa. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre matrizes inversas e, mais especificamente, sobre matrizes triangulares inferiores. Para resolver isso, precisamos saber que uma matriz triangular inferior (ou superior) com todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero sempre tem uma inversa.

Passo 2

Olhemos a matriz B = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 1 & 2 & 4 & 0 1 & 2 & 4 & 8 :
Vemos que ela é uma matriz triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Além disso, os elementos da diagonal principal são 1, 2, 4 e 8, todos diferentes de zero. Isso nos garante que é invertível.

Passo 3

Para encontrar a inversa de uma matriz triangular inferior, podemos construir a matriz inversa passo a passo. A ideia é que, para cada linha, vamos ajustar os elementos de modo que, quando multiplicarmos pela sua inversa , obtenhamos a matriz identidade.

Passo 4

Vamos chamar a matriz inversa de B^-1 = a & 0 & 0 & 0 b & c & 0 & 0 d & e & f & 0 g & h & i & j e representá-la da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de de forma que , onde é a matriz identidade.

Passo 5

Vamos multiplicar B times B^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 1 & 2 & 4 & 0 1 & 2 & 4 & 8 a & 0 & 0 & 0 b & c & 0 & 0 d & e & f & 0 g & h & i & j = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 por e igualar a matriz identidade:

[
B \times B^{-1} =


]
Vamos resolver isso elemento por elemento.

Passo 6

Começando pela primeira linha:
  • Os outros elementos da primeira linha já são zero, então não precisamos se preocupar com eles.

Passo 7

Agora, a segunda linha:

Passo 8

Terceira linha:

Passo 9

Quarta linha:

Resposta

B^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -dfrac12 & dfrac12 & 0 & 0 0 & -dfrac14 & dfrac14 & 0 0 & 0 & -dfrac18 & dfrac18

Exercícios relacionados

Seja T: V V um operador linear. Mostre que se dim(Im T)=m, então T tem no máximo m+1 autovalores.
Seja P=(3,4,-1).
© Encontre a distancia de P a origem O=(0,0,0).
Mostre o que se pede abaixo
  • (a) Mostre que se B, M in Mn(K), com M invertível, então (M^-1 B M)^k=M^-1 B^k M
Em cada caso, mostre que A é inversível e calcule A^-1 :
(a) A=(ccccos alpha & sen alpha & 0 -sen alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1); Resp.: A^-1=(ccccos alpha & -sen alpha & 0 sen alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1)