Mostre o que se pede abaixo
  • (a) Mostre que se B, M in Mn(K), com M invertível, então (M^-1 B M)^k=M^-1 B^k M

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, se tivermos duas matrizes e em (ou seja, matrizes quadradas de ordem com entradas no campo ), e se for invertível, então a expressão é igual a . Vamos precisar usar propriedades de matrizes invertíveis e potências de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma matriz é invertível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso é importante porque nos permite “desfazer” multiplicações por .

Passo 3

Agora, queremos calcular . Vamos entender o que isso significa. Quando elevamos uma matriz a uma potência, estamos multiplicando a matriz por ela mesma vezes.

Passo 4

Para simplificar (M^-1 B M)^k = underbrace(M^-1 B M) (M^-1 B M) cdots (M^-1 B M)k vezes , vamos multiplicar a expressão por ela mesma vezes:

Passo 5

Observando essa multiplicação, percebemos que entre cada (M^-1 B M)^k = M^-1 B underbraceM M^-1I B cdots underbraceM M^-1I B M e consecutivos, temos , que é igual à matriz identidade :

Passo 6

Como (M^-1 B M)^k = M^-1 B I B I cdots I B M , a expressão simplifica para:
(M^-1 B M)^k = M^-1 B^k M
E como qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece a mesma, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Determinar, se possível, a inversa de cada matriz a seguir:
(b) B=(llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 1 & 2 & 4 & 0 1 & 2 & 4 & 8); Resp.: B^-1=(cccc1 & 0 & 0 & 0 -1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 0 & -1 / 4 & 1 / 4 & 0 0 & 0 & -1 / 8 & 1 / 8)
Seja T: V V um operador linear. Mostre que se dim(Im T)=m, então T tem no máximo m+1 autovalores.
Em cada caso, mostre que A é inversível e calcule A^-1 :
(a) A=(ccccos alpha & sen alpha & 0 -sen alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1); Resp.: A^-1=(ccccos alpha & -sen alpha & 0 sen alpha & cos alpha & 0 0 & 0 & 1)
Dados os vetores A=lang<= 1,2,3rang<=, B=lang<= 4,-3,-1rang<=, C=lang<=-5,-3,5rang<= e D=lang<=-2,1,6rang<=, encontre:
a) A+5 B;
b) 7 C-5 D
c) |7 C|-|5 C|
d) |7 C-5 D|
e) C+3 D-8 A
f) |A| cdot|B|(C-D)