Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Elipse , cujos focos são , e o eixo maior tem medida 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma elipse. O que a gente sabe é que os focos dessa elipse estão em e , e que o eixo maior tem comprimento 10. Vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre elipses, pra chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em e , o centro fica no ponto médio entre eles. Para achar o ponto médio, a gente faz a média das coordenadas x e das coordenadas y:
Então, o centro da elipse é na origem, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o eixo maior é o maior eixo da elipse e passa pelos focos. O comprimento do eixo maior é dado por , onde é o semi-eixo maior. Sabemos que , então:
Então, o valor de é 5.

Passo 4

Em elipses, a distância entre o centro e cada foco é representada por . Sabemos que os focos estão a unidades do centro (já que estão em e ), então:

Passo 5

A relação entre , (semi-eixo menor) e numa elipse é:
Vamos usar essa fórmula pra encontrar . Substituindo os valores que temos:
Então, o valor de é 3.

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como a elipse está centrada na origem e o eixo maior está no eixo x, a equação padrão é:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A equação reduzida da elipse é:

Exercícios relacionados

Dados e , determine o subespaço de . Em seguida, encontre uma base para e sua dimensão.
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Hiperbóle cujos focos são , e a medida do eixo transverso é 6.
Considere a reta e o plano .
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Parabóla , cujo parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.