Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Elipse E, cujos focos são F1=(-4,0), F2=(4,0), e o eixo maior tem medida 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma elipse. O que a gente sabe é que os focos dessa elipse estão em e , e que o eixo maior tem comprimento 10. Vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre elipses, pra chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em Centro = ( -4 + 42, 0 + 02 ) = (0, 0) e , o centro fica no ponto médio entre eles. Para achar o ponto médio, a gente faz a média das coordenadas x e das coordenadas y:
Então, o centro da elipse é na origem, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o eixo maior é o maior eixo da elipse e passa pelos focos. O comprimento do eixo maior é dado por a = 102 = 5 , onde é o semi-eixo maior. Sabemos que , então:
Então, o valor de é 5.

Passo 4

Em elipses, a distância entre o centro e cada foco é representada por c = 4 . Sabemos que os focos estão a unidades do centro (já que estão em e ), então:

Passo 5

A relação entre c^2 = a^2 - b^2 , 4^2 = 5^2 - b^2 16 = 25 - b^2 b^2 = 25 - 16 b^2 = 9 b = 3 (semi-eixo menor) e numa elipse é:
Vamos usar essa fórmula pra encontrar . Substituindo os valores que temos:
Então, o valor de é 3.

Passo 6

Agora que temos x^2a^2 + y^2b^2 = 1 e x^25^2 + y^23^2 = 1 x^225 + y^29 = 1 , podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como a elipse está centrada na origem e o eixo maior está no eixo x, a equação padrão é:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
x^225 + y^29 = 1

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