Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Elipse
, cujos focos são
, e o eixo maior tem medida 10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma elipse. O que a gente sabe é que os focos dessa elipse estão em
e
, e que o eixo maior tem comprimento 10. Vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre elipses, pra chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em
e
, o centro fica no ponto médio entre eles. Para achar o ponto médio, a gente faz a média das coordenadas x e das coordenadas y:
Então, o centro da elipse é na origem,
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o eixo maior é o maior eixo da elipse e passa pelos focos. O comprimento do eixo maior é dado por
, onde
é o semi-eixo maior. Sabemos que
, então:
Então, o valor de
é 5.
Passo 4
Em elipses, a distância entre o centro e cada foco é representada por
. Sabemos que os focos estão a
unidades do centro (já que estão em
e
), então:
Passo 5
A relação entre
,
(semi-eixo menor) e
numa elipse é:
Vamos usar essa fórmula pra encontrar
. Substituindo os valores que temos:
Então, o valor de
é 3.
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como a elipse está centrada na origem e o eixo maior está no eixo x, a equação padrão é:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A equação reduzida da elipse é:
Exercícios relacionados
Dados
e
, determine o subespaço
de
. Em seguida, encontre uma base para
e sua dimensão.
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Hiperbóle
cujos focos são
, e a medida do eixo transverso é 6.
Considere a reta
e o plano
.
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Parabóla
, cujo parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.