Considere a reta e o plano .
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma reta dada por e um plano definido por . O que precisamos fazer é:
Verificar se a reta é transversal ao plano, ou seja, se ela não é paralela ao plano.
Determinar o ponto de interseção entre a reta e o plano .
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a relação entre vetores direcionais e normais de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a forma paramétrica da reta . A equação pode ser escrita em termos de um parâmetro :
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 3
Agora, precisamos identificar o vetor diretor da reta . Observando as variações nos termos com :
Esse vetor nos indica a direção em que a reta está “apontando”.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o vetor normal ao plano . A equação do plano pode ser escrita na forma geral , onde os coeficientes formam o vetor normal:
Passo 5
Para verificar se a reta é transversal ao plano, precisamos ver se o vetor diretor da reta não é paralelo ao vetor normal do plano. Isso pode ser feito calculando o produto escalar entre e :
Como o produto escalar não é zero (), significa que os vetores não são perpendiculares, logo a reta não é paralela ao plano . Portanto, a reta é transversal ao plano.
Passo 6
Agora que sabemos que a reta intercepta o plano, vamos encontrar o ponto de interseção. Para isso, substituímos as expressões paramétricas da reta na equação do plano:
Passo 7
Com o valor de , substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto:
Resposta
A reta é transversal ao plano e intercepta o plano no ponto .