Considere a reta e o plano .
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma reta dada por e um plano definido por . O que precisamos fazer é:
  1. Verificar se a reta é transversal ao plano, ou seja, se ela não é paralela ao plano.
  2. Determinar o ponto de interseção entre a reta e o plano .
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a relação entre vetores direcionais e normais de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a forma paramétrica da reta . A equação pode ser escrita em termos de um parâmetro :
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Agora, precisamos identificar o vetor diretor da reta . Observando as variações nos termos com :
Esse vetor nos indica a direção em que a reta está “apontando”.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o vetor normal ao plano . A equação do plano pode ser escrita na forma geral , onde os coeficientes formam o vetor normal:

Passo 5

Para verificar se a reta é transversal ao plano, precisamos ver se o vetor diretor da reta não é paralelo ao vetor normal do plano. Isso pode ser feito calculando o produto escalar entre e :
Como o produto escalar não é zero ( ), significa que os vetores não são perpendiculares, logo a reta não é paralela ao plano . Portanto, a reta é transversal ao plano.

Passo 6

Agora que sabemos que a reta intercepta o plano, vamos encontrar o ponto de interseção. Para isso, substituímos as expressões paramétricas da reta na equação do plano:

Passo 7

Com o valor de , substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto:

Resposta

A reta é transversal ao plano e intercepta o plano no ponto .

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