Considere a reta e o plano .
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma reta dada por e um plano definido por . O que precisamos fazer é:
Verificar se a reta é transversal ao plano, ou seja, se ela não é paralela ao plano.
Determinar o ponto de interseção entre a reta e o plano .
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a relação entre vetores direcionais e normais de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a forma paramétrica da reta . A equação pode ser escrita em termos de um parâmetro :
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 3
Agora, precisamos identificar o vetor diretor da reta d = -1 -2 2 . Observando as variações nos termos com :
Esse vetor nos indica a direção em que a reta está “apontando”.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o vetor normal ao plano n = 1 0 -1 . A equação do plano pode ser escrita na forma geral , onde os coeficientes formam o vetor normal:
Passo 5
Para verificar se a reta é transversal ao plano, precisamos ver se o vetor diretor da reta não é paralelo ao vetor normal do plano. Isso pode ser feito calculando o produto escalar entre d cdot n = (-1)(1) + (-2)(0) + (2)(-1) = -1 + 0 - 2 = -3 e :
Como o produto escalar não é zero (), significa que os vetores não são perpendiculares, logo a reta não é paralela ao plano . Portanto, a reta é transversal ao plano.
Passo 6
Agora que sabemos que a reta intercepta o plano, vamos encontrar o ponto de interseção. Para isso, substituímos as expressões paramétricas da reta na equação do plano:
x - z + 1 = 0 (1 - t) - (2t - 1) + 1 = 0 1 - t - 2t + 1 + 1 = 0 3 - 3t = 0 -3t = -3 t = 1
Passo 7
Com o valor de x = 1 - 1 = 0 y = -2 times 1 = -2 z = 2 times 1 - 1 = 1 , substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto:
Resposta
A reta é transversal ao plano e intercepta o plano no ponto .