Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Hiperbóle
cujos focos são
, e a medida do eixo transverso é 6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! A gente tem que encontrar a equação reduzida da hipérbole
que tem os focos em
e
, e o eixo transverso mede 6 unidades. Pra isso, vamos usar os conceitos de geometria das hipérboles e algumas fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os pontos focais e o eixo transverso. Numa hipérbole, os focos são dois pontos que ajudam a definir a forma da hipérbole. O eixo transverso é a linha que passa pelos dois focos e tem comprimento igual a
, onde
é a distância do centro até cada vértice.
Aqui, os focos estão em
e
, então o centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos, que é
.
Passo 3
Sabemos que a distância entre o centro e cada foco é
. Também foi dado que o eixo transverso mede 6 unidades, o que significa que
. Então, podemos encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da relação fundamental das hipérboles:
Aqui, já sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar
:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. A forma padrão da equação de uma hipérbole horizontal é:
Substituindo
e
(já que
):
Resposta
A equação reduzida da hipérbole
é:
Exercícios relacionados
Considere os planos
e
.
(b) Seja a interseção dos planos acima. Determine o ângulo entre a reta
e a reta
(b) Seja
Sejam as retas
e
.
(a) Determine e
os pontos de intersecção de
e
, de
com os planos coordenados
e
(isto é
e
) respectivamente.
(a) Determine
Dados
e
, determine o subespaço
de
. Em seguida, encontre uma base para
e sua dimensão.
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Elipse
, cujos focos são
, e o eixo maior tem medida 10.