Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Hiperbóle H cujos focos são F1=(-raiz13, 0), F2=(raiz13, 0), e a medida do eixo transverso é 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! A gente tem que encontrar a equação reduzida da hipérbole que tem os focos em e , e o eixo transverso mede 6 unidades. Pra isso, vamos usar os conceitos de geometria das hipérboles e algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os pontos focais e o eixo transverso. Numa hipérbole, os focos são dois pontos que ajudam a definir a forma da hipérbole. O eixo transverso é a linha que passa pelos dois focos e tem comprimento igual a , onde é a distância do centro até cada vértice.
Aqui, os focos estão em e , então o centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos, que é .

Passo 3

Sabemos que a distância entre o centro e cada foco é a = 62 = 3 . Também foi dado que o eixo transverso mede 6 unidades, o que significa que . Então, podemos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos lembrar da relação fundamental das hipérboles:
c^2 = a^2 + b^2
Aqui, já sabemos que (raiz13)^2 = 3^2 + b^2 13 = 9 + b^2 b^2 = 13 - 9 b^2 = 4 e . Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar :

Passo 5

Com os valores de x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e x^29 - y^24 = 1 encontrados, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. A forma padrão da equação de uma hipérbole horizontal é:
Substituindo e (já que ):

Resposta

A equação reduzida da hipérbole x^29 - y^24 = 1 é:

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