Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Hiperbóle cujos focos são , e a medida do eixo transverso é 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! A gente tem que encontrar a equação reduzida da hipérbole que tem os focos em e , e o eixo transverso mede 6 unidades. Pra isso, vamos usar os conceitos de geometria das hipérboles e algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os pontos focais e o eixo transverso. Numa hipérbole, os focos são dois pontos que ajudam a definir a forma da hipérbole. O eixo transverso é a linha que passa pelos dois focos e tem comprimento igual a , onde é a distância do centro até cada vértice.
Aqui, os focos estão em e , então o centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos, que é .

Passo 3

Sabemos que a distância entre o centro e cada foco é . Também foi dado que o eixo transverso mede 6 unidades, o que significa que . Então, podemos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos lembrar da relação fundamental das hipérboles:
Aqui, já sabemos que e . Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar :

Passo 5

Com os valores de e encontrados, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. A forma padrão da equação de uma hipérbole horizontal é:
Substituindo e (já que ):

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Considere os planos e .
(b) Seja a interseção dos planos acima. Determine o ângulo entre a reta e a reta
Sejam as retas e .
(a) Determine e os pontos de intersecção de e , de com os planos coordenados e (isto é e ) respectivamente.
Dados e , determine o subespaço de . Em seguida, encontre uma base para e sua dimensão.
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Elipse , cujos focos são , e o eixo maior tem medida 10.