Dados v1=(1,1,2), v2=(1,-1,0) e v3=(1,0,1), determine o subespaço S= [v1, v2, v3] de R^3. Em seguida, encontre uma base para S e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço gerado pelos vetores , e no espaço tridimensional . Além disso, precisamos encontrar uma base para esse subespaço e descobrir sua dimensão. Isso tudo está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente relacionado a subespaços vetoriais, span (geração de subespaços), bases e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço S = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 mid a, b, c in R . Basicamente, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses três vetores. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Para descobrir a estrutura desse subespaço, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Se forem, será 3-dimensional; se não, a dimensão será menor.

Passo 3

Vamos organizar os vetores A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 2 & 0 & 1 em uma matriz para facilitar a análise:
1 & 1 & 1 0 & -2 & -1 2 & 0 & 1
Nosso objetivo é determinar o posto dessa matriz, que nos dirá a dimensão do subespaço 1 & 1 & 1 0 & -2 & -1 0 & -2 & -1 . Vamos fazer operações de linha para simplificar a matriz:
  1. Subtraímos a primeira linha da segunda:
1 & 1 & 1 0 & -2 & -1 0 & 0 & 0
  1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira:
  1. Subtraímos a segunda linha da terceira:
Agora, vemos que temos duas linhas não nulas, o que significa que o posto da matriz é 2. Isso indica que os vetores são linearmente dependentes e que a dimensão do subespaço é 2.

Passo 4

Como o subespaço v3 = a cdot v1 + b cdot v2 tem dimensão 2, precisamos encontrar duas bases que sejam linearmente independentes e que gerem (1, 0, 1) = a cdot (1,1,2) + b cdot (1,-1,0) . Observando as colunas da matriz original, já vimos que os vetores 1 = a + b 0 = a - b 1 = 2a + 0b e 1 = a + a Rightarrow 2a = 1 Rightarrow a = 0.5 Rightarrow b = 0.5 são suficientes para gerar 1 = 2 cdot 0.5 = 1 (Consistente) , pois pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Vamos verificar isso:
Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores dos vetores:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Resolvendo, da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Finalmente, verificamos na terceira equação:
Portanto, é de fato uma combinação linear de e , confirmando que é uma base para .

Resposta

O subespaço é um plano em gerado pelos vetores e . Uma base para é e sua dimensão é 2.

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