Dados e , determine o subespaço de . Em seguida, encontre uma base para e sua dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço gerado pelos vetores , e no espaço tridimensional . Além disso, precisamos encontrar uma base para esse subespaço e descobrir sua dimensão. Isso tudo está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente relacionado a subespaços vetoriais, span (geração de subespaços), bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço . Basicamente, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses três vetores. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Para descobrir a estrutura desse subespaço, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Se forem, será 3-dimensional; se não, a dimensão será menor.
Passo 3
Vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise:
Nosso objetivo é determinar o posto dessa matriz, que nos dirá a dimensão do subespaço . Vamos fazer operações de linha para simplificar a matriz:
Subtraímos a primeira linha da segunda:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira:
Subtraímos a segunda linha da terceira:
Agora, vemos que temos duas linhas não nulas, o que significa que o posto da matriz é 2. Isso indica que os vetores são linearmente dependentes e que a dimensão do subespaço é 2.
Passo 4
Como o subespaço tem dimensão 2, precisamos encontrar duas bases que sejam linearmente independentes e que gerem . Observando as colunas da matriz original, já vimos que os vetores e são suficientes para gerar , pois pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Vamos verificar isso:
Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores dos vetores:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Resolvendo, da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Finalmente, verificamos na terceira equação:
Portanto, é de fato uma combinação linear de e , confirmando que é uma base para .
Resposta
O subespaço é um plano em gerado pelos vetores e . Uma base para é e sua dimensão é 2.