Dados e , determine o subespaço de . Em seguida, encontre uma base para e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço gerado pelos vetores , e no espaço tridimensional . Além disso, precisamos encontrar uma base para esse subespaço e descobrir sua dimensão. Isso tudo está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente relacionado a subespaços vetoriais, span (geração de subespaços), bases e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço . Basicamente, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses três vetores. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Para descobrir a estrutura desse subespaço, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Se forem, será 3-dimensional; se não, a dimensão será menor.

Passo 3

Vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise:
Nosso objetivo é determinar o posto dessa matriz, que nos dirá a dimensão do subespaço . Vamos fazer operações de linha para simplificar a matriz:
  1. Subtraímos a primeira linha da segunda:
  1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira:
  1. Subtraímos a segunda linha da terceira:
Agora, vemos que temos duas linhas não nulas, o que significa que o posto da matriz é 2. Isso indica que os vetores são linearmente dependentes e que a dimensão do subespaço é 2.

Passo 4

Como o subespaço tem dimensão 2, precisamos encontrar duas bases que sejam linearmente independentes e que gerem . Observando as colunas da matriz original, já vimos que os vetores e são suficientes para gerar , pois pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Vamos verificar isso:
Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores dos vetores:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Resolvendo, da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Finalmente, verificamos na terceira equação:
Portanto, é de fato uma combinação linear de e , confirmando que é uma base para .

Resposta

O subespaço é um plano em gerado pelos vetores e . Uma base para é e sua dimensão é 2.

Exercícios relacionados

Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Hiperbóle cujos focos são , e a medida do eixo transverso é 6.
Considere os planos e .
(b) Seja a interseção dos planos acima. Determine o ângulo entre a reta e a reta
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Elipse , cujos focos são , e o eixo maior tem medida 10.
Considere a reta e o plano .
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.