Sejam as retas r=(1,1,0)+beta(0,1,1) ; beta in R e s:x-12=y=z.
(a) Determine A, B e C os pontos de intersecção de s e pi: x-y+z=2, de r com os planos coordenados x z e x y (isto é y=0 e z=0) respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar três pontos de interseção envolvendo as retas e e alguns planos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especialmente conceitos sobre retas no espaço e interseções com planos. Para resolver, vamos precisar das equações das retas e dos planos, além de saber como resolver sistemas de equações para encontrar os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto x = 1 + 2t, y = t, z = t , que é a interseção da reta (1 + 2t) - t + t = 2 1 + 2t - t + t = 2 1 + 2t = 2 2t = 1 t = 12 com o plano x = 1 + 2 times 12 = 2 y = 12 z = 12 .
A reta está dada por . Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro :
Agora, substituímos essas expressões na equação do plano :
Agora, substituímos de volta nas equações da reta :
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos x = 1 y = 1 + beta z = 0 + beta = beta e 1 + beta = 0 beta = -1 , que são as interseções da reta x = 1 y = 0 z = -1 com os planos coordenados beta = 0 (onde x = 1 y = 1 z = 0 ) e (onde ), respectivamente.
A reta está dada por , onde é um parâmetro real. Podemos escrever as equações paramétricas da reta :
**Para encontrar (interseção com o plano , onde ):
Definimos :
Substituímos nas equações de :
Então, o ponto é .
**Para encontrar (interseção com o plano , onde ):
Definimos :
Substituímos nas equações de :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos de interseção são:

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