Sejam as retas
e
.
(a) Determine
e
os pontos de intersecção de
e
, de
com os planos coordenados
e
(isto é
e
) respectivamente.
(a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar três pontos de interseção envolvendo as retas
e
e alguns planos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especialmente conceitos sobre retas no espaço e interseções com planos. Para resolver, vamos precisar das equações das retas e dos planos, além de saber como resolver sistemas de equações para encontrar os pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto
, que é a interseção da reta
com o plano
.
A reta
está dada por
. Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro
:
Agora, substituímos essas expressões na equação do plano
:
Agora, substituímos
de volta nas equações da reta
:
Então, o ponto
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos
e
, que são as interseções da reta
com os planos coordenados
(onde
) e
(onde
), respectivamente.
A reta
está dada por
, onde
é um parâmetro real. Podemos escrever as equações paramétricas da reta
:
**Para encontrar
(interseção com o plano
, onde
):
Definimos
:
Substituímos
nas equações de
:
Então, o ponto
é
.
**Para encontrar
(interseção com o plano
, onde
):
Definimos
:
Substituímos
nas equações de
:
Então, o ponto
é
.
Resposta
Os pontos de interseção são:
Exercícios relacionados
Para a parábola, determine: o parâmetro, o foco e a reta diretriz. Faça os esboços das parábolas.
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de
que
(a) equidistam das retas
(a) equidistam das retas
Considere os planos
e
.
(b) Seja a interseção dos planos acima. Determine o ângulo entre a reta
e a reta
(b) Seja
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Hiperbóle
cujos focos são
, e a medida do eixo transverso é 6.