Considere os planos e .
(b) Seja a interseção dos planos acima. Determine o ângulo entre a reta e a reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois planos dados pelas equações e . A interseção desses dois planos forma uma reta, chamada de . Nosso objetivo aqui é encontrar o ângulo entre essa reta e outra reta que é definida por:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores de retas e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta , que é a interseção dos planos e . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por esses dois planos:
Podemos resolver esse sistema por eliminação. Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
Agora, subtraindo a segunda equação dessa nova equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, podemos expressar em termos de (vamos chamar ):
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta . A equação paramétrica de é:
Aqui, o vetor diretor de é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre as retas e , usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, calculamos as normas (módulos) dos vetores:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
Agora, para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre a reta e a reta é de .

Exercícios relacionados

Sejam as retas e .
(a) Determine e os pontos de intersecção de e , de com os planos coordenados e (isto é e ) respectivamente.
Para a parábola, determine: o parâmetro, o foco e a reta diretriz. Faça os esboços das parábolas.
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Hiperbóle cujos focos são , e a medida do eixo transverso é 6.
Dados e , determine o subespaço de . Em seguida, encontre uma base para e sua dimensão.