Considere os planos pi1: x+y-2 z=1 e pi2: 2 x+y+2 z=2.
(b) Seja s a interseção dos planos acima. Determine o ângulo entre a reta s e a reta
r:(x, y, z)=(-1,1,3)+t(8,-12,-2), t in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois planos dados pelas equações r: (x, y, z) = (-1, 1, 3) + t(8, -12, -2), t in R e . A interseção desses dois planos forma uma reta, chamada de . Nosso objetivo aqui é encontrar o ângulo entre essa reta e outra reta que é definida por:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores de retas e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta x + y - 2z = 1 2x + y + 2z = 2 , que é a interseção dos planos 2x + 2y - 4z = 2 e (2x + 2y - 4z) - (2x + y + 2z) = 2 - 2 2x + 2y - 4z - 2x - y - 2z = 0 y - 6z = 0 y = 6z . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por esses dois planos:
x + 6z - 2z = 1 x + 4z = 1 x = 1 - 4z
Podemos resolver esse sistema por eliminação. Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
s: (x, y, z) = (1 - 4t, 6t, t), t in R
Agora, subtraindo a segunda equação dessa nova equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, podemos expressar em termos de (vamos chamar ):
O vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta r: (x, y, z) = (-1, 1, 3) + t(8, -12, -2) . A equação paramétrica de é:
Aqui, o vetor diretor de é .

Passo 4

Para encontrar o ângulo costheta = ds cdot dr|ds| cdot |dr| entre as retas ds cdot dr = (-4)(8) + (6)(-12) + (1)(-2) = -32 -72 -2 = -106 e |ds| = raiz(-4)^2 + 6^2 + 1^2 = raiz16 + 36 + 1 = raiz53 , usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
|dr| = raiz8^2 + (-12)^2 + (-2)^2 = raiz64 + 144 + 4 = raiz212 = 2raiz53
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, calculamos as normas (módulos) dos vetores:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
costheta = -106raiz53 cdot 2raiz53 = -1062 cdot 53 = -106106 = -1
Agora, para encontrar o ângulo theta = arccos(-1) = 180^circ , tiramos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre a reta e a reta é de .

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