Considere os planos
e
.
(b) Seja
a interseção dos planos acima. Determine o ângulo entre a reta
e a reta
(b) Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois planos dados pelas equações
e
. A interseção desses dois planos forma uma reta, chamada de
. Nosso objetivo aqui é encontrar o ângulo entre essa reta
e outra reta
que é definida por:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores de retas e como calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta
, que é a interseção dos planos
e
. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por esses dois planos:
Podemos resolver esse sistema por eliminação. Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
Agora, subtraindo a segunda equação dessa nova equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, podemos expressar
em termos de
(vamos chamar
):
O vetor diretor de
é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta
. A equação paramétrica de
é:
Aqui, o vetor diretor de
é
.
Passo 4
Para encontrar o ângulo
entre as retas
e
, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Agora, calculamos as normas (módulos) dos vetores:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
Agora, para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre a reta
e a reta
é de
.