( 5.0 pts função
é diferenciável em ?
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam aberto de . Dizemos que é diferenciável em se e somente se existirem reais e tais que
Sabe-se que se a funçâo é diferenciável no ponto , então e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que muda a definição dependendo se o ponto é ou não. Queremos descobrir se essa função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade, que basicamente verifica se a função pode ser bem aproximada por um plano ao redor desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto :
Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto :
Como , temos:

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos ( e ), vamos usar a definição de diferenciabilidade. Precisamos verificar se:
Simplificando, fica:

Passo 6

Vamos substituir a expressão de :
Precisamos mostrar que esse limite é zero.

Passo 7

Vamos estimar o valor absoluto dessa expressão:
Como , então:
No entanto, queremos que esse valor se aproxime de zero quando .

Passo 8

Para isso, consideremos que tanto quanto tendem a zero. Como ambos estão no numerador, a expressão completa tende a zero. Portanto:

Resposta

Sim, a função é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule:
( 2.0 pts Calcule caso exista
( 2.0 pts ) Dada
Determine
(a) Dominio da função.
(b) Conjunto Imagem da funçāo.
© Secōes Transversáis nos planos e .
(d) Curvas de nível para .
(e) Esboce o seu gráfico.
(f) Vetor Gradiente.
Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
[7]
é o triângulo com vértices e .
[8]
é a circunferência .
[10]
é a curva da interseção do plano com o cilindro .