é diferenciável em ?
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam aberto de . Dizemos que é diferenciável em se e somente se existirem reais e tais que
Sabe-se que se a funçâo é diferenciável no ponto , então e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que muda a definição dependendo se o ponto é ou não. Queremos descobrir se essa função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade, que basicamente verifica se a função pode ser bem aproximada por um plano ao redor desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto :
Como , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto :
Como , temos:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos ( e ), vamos usar a definição de diferenciabilidade. Precisamos verificar se:
Simplificando, fica:
Passo 6
Vamos substituir a expressão de :
Precisamos mostrar que esse limite é zero.
Passo 7
Vamos estimar o valor absoluto dessa expressão:
Como , então:
No entanto, queremos que esse valor se aproxime de zero quando .
Passo 8
Para isso, consideremos que tanto quanto tendem a zero. Como ambos estão no numerador, a expressão completa tende a zero. Portanto: