( 5.0 pts ) A função
f(x, y)=rrr x y^225 x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0) ?
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam f: A R, A aberto de R^2 e(x0, y0) in A. Dizemos que f é diferenciável em (x0, y0) se e somente se existirem reais a e b tais que
lim (h, k) (0,0) f(x0+h, y0+k)-f(x0, y0)-a h-b k|(h, k)|=0
Sabe-se que se a funçâo é diferenciável no ponto (x0, y0), então a=partial fpartial x(x0, y0) e b=partial fpartial y(x0, y0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que muda a definição dependendo se o ponto é ou não. Queremos descobrir se essa função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade, que basicamente verifica se a função pode ser bem aproximada por um plano ao redor desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 :
Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 :
Como , temos:

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos ( lim(h, k) to (0,0) f(h, k) - 0 - 0 cdot h - 0 cdot kraizh^2 + k^2 = 0 e lim(h, k) to (0,0) f(h, k)raizh^2 + k^2 = 0 ), vamos usar a definição de diferenciabilidade. Precisamos verificar se:
Simplificando, fica:

Passo 6

Vamos substituir a expressão de f(h, k)raizh^2 + k^2 = h k^225h^2 + k^2raizh^2 + k^2 = h k^2(25h^2 + k^2)raizh^2 + k^2 :
Precisamos mostrar que esse limite é zero.

Passo 7

Vamos estimar o valor absoluto dessa expressão:
| h k^2(25h^2 + k^2)raizh^2 + k^2 | <= |h| k^2k^2 raizh^2 + k^2 = |h|raizh^2 + k^2
Como | h k^2(25h^2 + k^2)raizh^2 + k^2 | <= 1 , então:
No entanto, queremos que esse valor se aproxime de zero quando .

Passo 8

Para isso, consideremos que tanto lim(h, k) to (0,0) f(h, k)raizh^2 + k^2 = 0 quanto tendem a zero. Como ambos estão no numerador, a expressão completa tende a zero. Portanto:

Resposta

Sim, a função é diferenciável no ponto .

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