( 2.0 pts ) Dada
Determine
(a) Dominio da função.
(b) Conjunto Imagem da funçāo.
© Secōes Transversáis nos planos e .
(d) Curvas de nível para .
(e) Esboce o seu gráfico.
(f) Vetor Gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá a função e pede para determinarmos várias propriedades dela, como domínio, imagem, seções transversais, curvas de nível, esboço do gráfico e o vetor gradiente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções de duas variáveis, domínio, imagem, planos coordenados, curvas de nível e cálculo de gradientes.

Passo 2

(a) Domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares ) para os quais a função está definida.
Como a nossa função é uma função linear e não possui restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, o domínio dela inclui todos os números reais para e .
Então, o domínio é:
í

Passo 3

(b) Conjunto Imagem da função
O conjunto imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída (valores de ) que a função pode assumir.
Como nossa função é linear e inclui todas as combinações de e reais, pode assumir qualquer valor real. Não há restrições para , então o conjunto imagem também é todos os números reais.
Assim, o conjunto imagem é:

Passo 4

© Seções Transversais nos planos e
As seções transversais são cortes da superfície da função nos planos coordenados, mostrando como a função se comporta quando uma das variáveis é fixa.
  • Plano : Aqui, fixamos . Substituindo na função:
    Isso representa uma reta no plano .
  • Plano : Aqui, fixamos . Substituindo na função:
    Isso também representa uma reta, mas no plano .

Passo 5

(d) Curvas de Nível para
As curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante .
Para cada valor de , resolvemos a equação :
  • Para :
    Uma reta no plano .
  • Para :
    Outra reta paralela à anterior.
  • Para :
    Mais uma reta paralela.
Todas as curvas de nível são retas paralelas no plano , cada uma correspondendo a um valor constante de .

Passo 6

(e) Esboço do Gráfico
Como a função é linear, o gráfico dela é um plano em 3D. As seções transversais que fizemos nos planos e são linhas retas, confirmando que o gráfico é um plano inclinado.
Para esboçar:
  • Identificamos o intercepto com o eixo quando e : .
  • As inclinações nas direções e são dadas pelos coeficientes -4 e -5, respectivamente.
  • Desenhamos o plano passando por esses pontos e seguindo as inclinações.

Passo 7

(f) Vetor Gradiente
O vetor gradiente de uma função de duas variáveis, , aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular às curvas de nível.
Para calcular o gradiente, derivamos parcialmente em relação a e :
Então, o vetor gradiente é:

Resposta

(a) Domínio:
(b) Conjunto Imagem:
© Seções Transversais:
  • Plano :
  • Plano :
(d) Curvas de Nível para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
(e) Gráfico: Um plano inclinado no espaço tridimensional, interceptando o eixo em e com inclinações definidas pelos coeficientes de e .
(f) Vetor Gradiente:

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é diferenciável em ?
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam aberto de . Dizemos que é diferenciável em se e somente se existirem reais e tais que
Sabe-se que se a funçâo é diferenciável no ponto , então e .
Calcule:
Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
[7]
é o triângulo com vértices e .
[8]
é a circunferência .
[10]
é a curva da interseção do plano com o cilindro .
Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas: