( 2.0 pts ) Dada
Determine
(a) Dominio da função.
(b) Conjunto Imagem da funçāo.
© Secōes Transversáis nos planos
e
.
(d) Curvas de nível para
.
(e) Esboce o seu gráfico.
(f) Vetor Gradiente.
(a) Dominio da função.
(b) Conjunto Imagem da funçāo.
© Secōes Transversáis nos planos
(d) Curvas de nível para
(e) Esboce o seu gráfico.
(f) Vetor Gradiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá a função
e pede para determinarmos várias propriedades dela, como domínio, imagem, seções transversais, curvas de nível, esboço do gráfico e o vetor gradiente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções de duas variáveis, domínio, imagem, planos coordenados, curvas de nível e cálculo de gradientes.
Passo 2
(a) Domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida.
Como a nossa função
é uma função linear e não possui restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, o domínio dela inclui todos os números reais para
e
.
Então, o domínio é:
Passo 3
(b) Conjunto Imagem da função
O conjunto imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída (valores de
) que a função pode assumir.
Como nossa função é linear e inclui todas as combinações de
e
reais,
pode assumir qualquer valor real. Não há restrições para
, então o conjunto imagem também é todos os números reais.
Assim, o conjunto imagem é:
Passo 4
© Seções Transversais nos planos
e
As seções transversais são cortes da superfície da função nos planos coordenados, mostrando como a função se comporta quando uma das variáveis é fixa.
-
Plano
: Aqui, fixamos . Substituindo na função: Isso representa uma reta no plano. -
Plano
: Aqui, fixamos . Substituindo na função: Isso também representa uma reta, mas no plano.
Passo 5
(d) Curvas de Nível para
As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
.
Para cada valor de
, resolvemos a equação
:
-
Para
: Uma reta no plano. -
Para
: Outra reta paralela à anterior. -
Para
: Mais uma reta paralela.
Todas as curvas de nível são retas paralelas no plano
, cada uma correspondendo a um valor constante de
.
Passo 6
(e) Esboço do Gráfico
Como a função
é linear, o gráfico dela é um plano em 3D. As seções transversais que fizemos nos planos
e
são linhas retas, confirmando que o gráfico é um plano inclinado.
Para esboçar:
- Identificamos o intercepto com o eixo
quando e : . - As inclinações nas direções
e são dadas pelos coeficientes -4 e -5, respectivamente. - Desenhamos o plano passando por esses pontos e seguindo as inclinações.
Passo 7
(f) Vetor Gradiente
O vetor gradiente de uma função de duas variáveis,
, aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular às curvas de nível.
Para calcular o gradiente, derivamos parcialmente
em relação a
e
:
Então, o vetor gradiente é:
Resposta
(a) Domínio:
(b) Conjunto Imagem:
© Seções Transversais:
- Plano
: - Plano
:
(d) Curvas de Nível para
:
- Para
: - Para
: - Para
:
(e) Gráfico: Um plano inclinado no espaço tridimensional, interceptando o eixo
em
e com inclinações definidas pelos coeficientes de
e
.
(f) Vetor Gradiente:
Exercícios relacionados
( 5.0 pts
função
é diferenciável em
?
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam aberto de
. Dizemos que
é diferenciável em
se e somente se existirem reais
e
tais que
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam
Sabe-se que se a funçâo é diferenciável no ponto
, então
e
.
Calcule:
Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
[7]
é o triângulo com vértices
e
.
[8]
é a circunferência
.
[10]
é a curva da interseção do plano
com o cilindro
.
[7]
[8]
[10]
Use a integração por partes para calcular as seguintes integrais indefinidas: