Em cada caso, dê a posição relativa entre r e a:
a) r: x - y = 0 e a: x² + y² + 2x - 2y + 1 = 0
b) r: x - y + 1 = 0 e a: (x + 1)² + (y - 2)² = 5
c) r: x + y - 2 = 0 e a: x² + y² - 4x - 4y + 6 = 0
d) r: 2x - y - 1 = 0 e a: (x - 3)² + (y + 1)² = 16
a) r: x - y = 0 e a: x² + y² + 2x - 2y + 1 = 0
b) r: x - y + 1 = 0 e a: (x + 1)² + (y - 2)² = 5
c) r: x + y - 2 = 0 e a: x² + y² - 4x - 4y + 6 = 0
d) r: 2x - y - 1 = 0 e a: (x - 3)² + (y + 1)² = 16
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver quatro casos onde temos uma reta $ r $ e uma circunferência $ a $. O objetivo é descobrir como elas se relacionam: se a reta corta a circunferência em dois pontos (secante), toca em um único ponto (tangente) ou não toca nenhuma (externa). Para isso, vamos precisar da fórmula da distância entre um ponto e uma reta e das características das circunferências.
Passo 2
Caso a)
Dada a reta $ r: x - y = 0 $ e a circunferência $ a: x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 $.
Dada a reta $ r: x - y = 0 $ e a circunferência $ a: x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 $.
Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência no formato padrão $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $.
Para isso, completamos os quadrados:
Para isso, completamos os quadrados:
Então, o centro da circunferência é $ C(-1, 1) $ e o raio é $ r = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre o centro $ C(-1, 1) $ e a reta $ r: x - y = 0 $. A fórmula da distância $ d $ de um ponto $ (x_0, y_0) $ a uma reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
Reescrevendo a reta $ r $ na forma $ Ax + By + C = 0 $: $ x - y = 0 $ → $ A = 1 $, $ B = -1 $, $ C = 0 $.
Substituindo os valores:
Passo 4
Comparando a distância $ d = \sqrt{2} $ com o raio $ r = 1 $:
Como a distância é maior que o raio, a reta não toca a circunferência.
Passo 5
Agora, vamos para o caso b). Temos a reta $ r: x - y + 1 = 0 $ e a circunferência $ a: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 $.
O centro da circunferência é $ C(-1, 2) $ e o raio é $ r = \sqrt{5} $.
Passo 6
Calculamos a distância entre $ C(-1, 2) $ e a reta $ r: x - y + 1 = 0 $. Usando a mesma fórmula:
Passo 7
Comparando $ d = \sqrt{2} $ com $ r = \sqrt{5} $:
A distância é menor que o raio, então a reta corta a circunferência em dois pontos.
Passo 8
Vamos para o caso c). A reta é $ r: x + y - 2 = 0 $ e a circunferência é $ a: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0 $.
Primeiro, completamos os quadrados para encontrar o centro e o raio:
Então, o centro é $ C(2, 2) $ e o raio é $ r = \sqrt{2} $.
Passo 9
Calculamos a distância de $ C(2, 2) $ à reta $ r: x + y - 2 = 0 $:
Passo 10
Aqui, a distância $ d = \sqrt{2} $ é igual ao raio $ r = \sqrt{2} $. Isso significa que a reta toca a circunferência em exatamente um ponto.
Passo 11
Finalmente, o caso d). A reta é $ r: 2x - y -1 = 0 $ e a circunferência é $ a: (x - 3)^2 + (y +1)^2 = 16 $.
O centro da circunferência é $ C(3, -1) $ e o raio é $ r = 4 $.
Passo 12
Calculamos a distância de $ C(3, -1) $ à reta $ r: 2x - y -1 = 0 $:
Passo 13
Comparando $ d \approx 2,683 $ com $ r = 4 $:
A distância é menor que o raio, então a reta corta a circunferência em dois pontos.
Resposta
Caso d) A reta $ r $ é secante à circunferência $ a $.