Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de x para os quais f'(x) = 0.
f(x) = x^(7/3) + x^(4/3) - 3 * x^(1/3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os valores de onde a derivada dessa função, , é igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções polinomiais com expoentes fracionários.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de . Lembrando que a derivada de em relação a é .
Simplificando os expoentes:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os valores de onde . Ou seja:
Para facilitar a resolução, vamos multiplicar toda a equação por para eliminar o expoente negativo:
Simplificando os expoentes:

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática mais simples:
Para resolver, vamos multiplicar todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática :
Onde, neste caso, , e .
Calculando o discriminante:
Como é positivo, temos duas soluções reais:

Passo 6

Calculando as duas possíveis soluções:

Resposta

Os valores de para os quais são e .

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