Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F = (x*y, y^2, x^2*z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Depois, precisamos encontrar a matriz jacobiana e o diferencial . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e matrizes jacobianas.

Passo 2

Primeiro, vamos justificar que é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Um campo vetorial é diferenciável se todas as suas componentes têm derivadas parciais contínuas. As componentes de são:
Vamos ver as derivadas parciais de cada uma:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Todas essas derivadas são funções polinomiais, que são contínuas em todo . Portanto, como todas as derivadas parciais são contínuas, o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Passo 3

Agora, vamos determinar a matriz jacobiana . A matriz jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Para nosso campo vetorial, a matriz será 3x3:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 4

Por último, vamos encontrar o diferencial . O diferencial é basicamente a aplicação da matriz jacobiana ao vetor . Ou seja:
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:

Resposta

O campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A matriz jacobiana é:
E o diferencial é:

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