Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do , também determine e :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Depois, precisamos encontrar a matriz jacobiana e o diferencial . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e matrizes jacobianas.
Passo 2
Primeiro, vamos justificar que é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Um campo vetorial é diferenciável se todas as suas componentes têm derivadas parciais contínuas. As componentes de são:
Vamos ver as derivadas parciais de cada uma:
Para :
Para :
Para :
Todas essas derivadas são funções polinomiais, que são contínuas em todo . Portanto, como todas as derivadas parciais são contínuas, o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
Passo 3
Agora, vamos determinar a matriz jacobiana . A matriz jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Para nosso campo vetorial, a matriz será 3x3:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 4
Por último, vamos encontrar o diferencial . O diferencial é basicamente a aplicação da matriz jacobiana ao vetor . Ou seja:
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:
Resposta
O campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A matriz jacobiana é: