Calcule os seguintes limites: lim (x, y, z) (-1,5,2)(x y z, x-z)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função vetorial (x y z, x - z) quando as variáveis (x, y, z) se aproximam de (-1, 5, 2). Vamos usar os conhecimentos sobre limites de funções de várias variáveis e a continuidade das funções polinomiais para resolver isso.

Passo 2

Lembre-se que, para funções contínuas, o limite quando as variáveis se aproximam de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. As funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio, o que facilita o cálculo do limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada componente da função separadamente.
Primeiro, para a componente x y z:
lim(x, y, z) to (-1, 5, 2) x y z = (-1) times 5 times 2 = -10

Passo 4

Agora, para a componente x - z:
lim(x, y, z) to (-1, 5, 2) (x - z) = (-1) - 2 = -3

Resposta

O limite da função (x y z, x - z) quando (x, y, z) se aproxima de (-1, 5, 2) é (-10, -3).

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Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F(x, y, z) = (x/y, 2y + 1, x*z^2)