Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F(x, y, z) = (x/y, 2y + 1, x*z^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Além disso, precisamos encontrar a matriz jacobiana e a aplicação diferencial .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre diferenciabilidade de funções vetoriais e como calcular derivadas parciais para formar a matriz jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função . Observando as componentes:
  1. está definida para .
  2. está definida para todo .
  3. está definida para todo e .
Então, o domínio é todos os pontos onde .

Passo 3

Para mostrar que é diferenciável em seu domínio, precisamos verificar se todas as suas componentes são diferenciáveis.
Cada componente é uma função de , e :
  1. — É uma função racional, diferenciável onde .
  2. — É uma função linear, claramente diferenciável em todo lugar.
  3. — É um polinômio, diferenciável em todo lugar.
Como todas as componentes são diferenciáveis no domínio , concluímos que é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz jacobiana . A matriz jacobiana é composta pelas derivadas parciais de cada componente da função vetor em relação a cada variável.
Então, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a matriz jacobiana fica:

Passo 5

Finalmente, vamos determinar a aplicação diferencial . A diferencial é calculada multiplicando a matriz jacobiana pelas variações , e :
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:

Resposta

A matriz jacobiana de é
e a aplicação diferencial é

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Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F = (x*y, y^2, x^2*z)
Calcule os seguintes limites: lim (x, y, z) (-1,5,2)(x y z, x-z)
Seja v em R^m, um vetor constante. Se F: R^n -> R^m é a função definida por F = v(x) para todo x em R^n, determine em quais pontos F = vetor(F) é diferenciável e calcule a derivada em cada um desses pontos.
Encontre y' e y''. y = x^2 ln(2 x)