Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do , também determine e :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Além disso, precisamos encontrar a matriz jacobiana e a aplicação diferencial .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre diferenciabilidade de funções vetoriais e como calcular derivadas parciais para formar a matriz jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função . Observando as componentes:
está definida para .
está definida para todo .
está definida para todo e .
Então, o domínio é todos os pontos onde .
Passo 3
Para mostrar que é diferenciável em seu domínio, precisamos verificar se todas as suas componentes são diferenciáveis.
Cada componente é uma função de , e :
— É uma função racional, diferenciável onde .
— É uma função linear, claramente diferenciável em todo lugar.
— É um polinômio, diferenciável em todo lugar.
Como todas as componentes são diferenciáveis no domínio , concluímos que é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
Passo 4
Agora, vamos calcular a matriz jacobiana . A matriz jacobiana é composta pelas derivadas parciais de cada componente da função vetor em relação a cada variável.
Então, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Para :
Para :
Para :
Então, a matriz jacobiana fica:
Passo 5
Finalmente, vamos determinar a aplicação diferencial . A diferencial é calculada multiplicando a matriz jacobiana pelas variações , e :