Seja
, um vetor constante. Se
é a função definida por
para todo
, determine em quais pontos
é diferenciável e calcule a derivada em cada um desses pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
que sempre retorna o mesmo vetor
, independente da entrada
. O tema aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a diferenciabilidade de funções entre espaços vetoriais. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma transformação linear perto desse ponto. No nosso caso, como
é constante, a mudança na saída não depende de
.
Passo 3
Como a função é constante, sua derivada em qualquer ponto será uma matriz de derivadas parciais. Mas, já que a função não muda com
, todas as derivadas parciais são zero. Isso significa que a matriz derivada (jacobiana) será uma matriz de zeros.
Passo 4
Vamos verificar formalmente a diferenciabilidade. A definição formal diz que
é diferenciável em
se existe uma matriz
tal que:
Neste caso,
, então a condição é satisfeita com
.
Passo 5
Portanto, a função
é diferenciável em todos os pontos de
e sua derivada em qualquer ponto é a matriz nula de dimensões
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos de
e sua derivada em qualquer ponto é a matriz nula de dimensão
.
Exercícios relacionados
Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial
é diferenciável em todos os pontos do
, também determine
e
:
Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial
é diferenciável em todos os pontos do
, também determine
e
:
Encontre
e
.
U é uma função diferenciável em
? Justifique sua resposta.