Seja v em R^m, um vetor constante. Se F: R^n -> R^m é a função definida por F = v(x) para todo x em R^n, determine em quais pontos F = vetor(F) é diferenciável e calcule a derivada em cada um desses pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que sempre retorna o mesmo vetor , independente da entrada . O tema aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a diferenciabilidade de funções entre espaços vetoriais. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma transformação linear perto desse ponto. No nosso caso, como é constante, a mudança na saída não depende de .

Passo 3

Como a função é constante, sua derivada em qualquer ponto será uma matriz de derivadas parciais. Mas, já que a função não muda com , todas as derivadas parciais são zero. Isso significa que a matriz derivada (jacobiana) será uma matriz de zeros.

Passo 4

Vamos verificar formalmente a diferenciabilidade. A definição formal diz que é diferenciável em se existe uma matriz tal que:
Neste caso, , então a condição é satisfeita com .

Passo 5

Portanto, a função é diferenciável em todos os pontos de e sua derivada em qualquer ponto é a matriz nula de dimensões .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos de e sua derivada em qualquer ponto é a matriz nula de dimensão .

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Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F(x, y, z) = (x/y, 2y + 1, x*z^2)
Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F = (x*y, y^2, x^2*z)
Encontre y' e y''. y = x^2 ln(2 x)
U é uma função diferenciável em R^2 ? Justifique sua resposta.