Encontre y' e y''. y = x^2 ln(2 x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas primeira e segunda da função . Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente utilizando as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira . Como é o produto de duas funções, e , usaremos a regra do produto. A regra do produto diz que se temos duas funções e , então a derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos identificar nossas funções:
Primeiro, calculamos :

Passo 4

Em seguida, calculamos . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, , então:

Passo 5

Aplicando a regra do produto com os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada segunda . Para isso, derivamos :
Derivamos termo a termo. Para o primeiro termo, novamente usamos a regra do produto:
E para o segundo termo:
Somando os resultados:

Resposta

As derivadas primeira e segunda são:

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