Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do , também determine e :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o campo vetorial . A gente precisa mostrar que esse campo é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, além de encontrar a derivada desse campo, que é a matriz jacobiana , e também a diferencial . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e matrizes jacobianas, para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial diferenciável. Um campo vetorial é uma função que associa a cada ponto um vetor. Para ser diferenciável, todas as componentes do vetor precisam ter derivadas parciais contínuas. No nosso caso, , temos duas componentes:
Vamos verificar se essas funções têm derivadas parciais contínuas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a cada variável:
Para :
(porque não depende de )
Para :
(porque não depende de )
Como todas essas derivadas parciais existem e são contínuas (já que são funções polinomiais, que são sempre contínuas), podemos afirmar que é diferenciável em todo o seu domínio.
Passo 4
Agora, vamos determinar a matriz jacobiana . A matriz jacobiana é composta pelas derivadas parciais das componentes do vetor em relação a cada variável. No nosso caso, temos duas componentes e três variáveis, então a matriz será :
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Por último, vamos encontrar a diferencial . A diferencial é basicamente a aplicação da matriz jacobiana ao vetor . Ou seja:
Fazendo a multiplicação:
Resposta
O campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A matriz jacobiana é: