Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F = (x*z, y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o campo vetorial . A gente precisa mostrar que esse campo é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, além de encontrar a derivada desse campo, que é a matriz jacobiana , e também a diferencial . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e matrizes jacobianas, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial diferenciável. Um campo vetorial é uma função que associa a cada ponto um vetor. Para ser diferenciável, todas as componentes do vetor precisam ter derivadas parciais contínuas. No nosso caso, , temos duas componentes:
Vamos verificar se essas funções têm derivadas parciais contínuas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a cada variável:
Para :
  • (porque não depende de )
Para :
  • (porque não depende de )
Como todas essas derivadas parciais existem e são contínuas (já que são funções polinomiais, que são sempre contínuas), podemos afirmar que é diferenciável em todo o seu domínio.

Passo 4

Agora, vamos determinar a matriz jacobiana . A matriz jacobiana é composta pelas derivadas parciais das componentes do vetor em relação a cada variável. No nosso caso, temos duas componentes e três variáveis, então a matriz será :
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Por último, vamos encontrar a diferencial . A diferencial é basicamente a aplicação da matriz jacobiana ao vetor . Ou seja:
Fazendo a multiplicação:

Resposta

O campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A matriz jacobiana é:
E a diferencial do campo vetorial é:

Exercícios relacionados

Na teoria da relatividade restrita, existe o conceito de massa relativística de uma partícula, que é uma grandeza que aumenta com a velocidade da partícula e depende do referencial. Ela pode ser calculada a partir da velocidade com a seguinte fórmula:
m = m0 / (1 - v^2 / c^2)
Aqui m0 é a massa em repouso, c é a velocidade da luz no vácuo (uma constante) e v é a velocidade em relação ao observador. Esboce o gráfico de m(v) (isto é, massa como função da velocidade).
Calcule os seguintes limites: lim (x, y) (1,2)(x^2 y, x+y, 2 x)
Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F(x, y, z) = (x^2 y, z e^x, x + z).
Neste caso a força F(x, y) que age sobre a partícula, quando esta localizada no ponto (x, y) em R^2, é dada por F(x, y) = -D U(x, y), determine essa força em qualquer ponto (x, y) em R^2.