Neste caso a força
que age sobre a partícula, quando esta localizada no ponto
, é dada por
, determine essa força em qualquer ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma força
que age sobre uma partícula em qualquer ponto
no plano
. A força é definida como
, onde
é uma função potencial. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a força a partir do potencial usando o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Em cálculo vetorial, o gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é dado por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
A força
está relacionada ao gradiente do potencial
pela relação:
Isso significa que a força é o vetor negativo do gradiente do potencial. O sinal negativo indica que a força atua na direção oposta ao aumento do potencial, ou seja, ela tende a mover a partícula na direção onde o potencial diminui.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa relação para determinar a força em qualquer ponto
. Substituindo o gradiente na expressão da força, temos:
Isso quer dizer que a força em um ponto específico é calculada pegando as derivadas parciais do potencial naquele ponto e multiplicando por
.
Resposta
A força em qualquer ponto
é dada por:
Exercícios relacionados
Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial
é diferenciável em todos os pontos do
, também determine
e
:
.
Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial
é diferenciável em todos os pontos do
, também determine
e
:
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
Os pontos de
que tem um mesmo potencial são chamados de pontos equipotenciais.
conjunto dos pontos de
que tem um mesmo potencial
formam uma superfície (superfície equipotencial), que tipo de superfície é? Qual é a relação que existe entre essas superfícies e o campo
?