Neste caso a força F(x, y) que age sobre a partícula, quando esta localizada no ponto (x, y) em R^2, é dada por F(x, y) = -D U(x, y), determine essa força em qualquer ponto (x, y) em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma força que age sobre uma partícula em qualquer ponto no plano . A força é definida como , onde é uma função potencial. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a força a partir do potencial usando o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Em cálculo vetorial, o gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é dado por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

A força está relacionada ao gradiente do potencial pela relação:
Isso significa que a força é o vetor negativo do gradiente do potencial. O sinal negativo indica que a força atua na direção oposta ao aumento do potencial, ou seja, ela tende a mover a partícula na direção onde o potencial diminui.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa relação para determinar a força em qualquer ponto . Substituindo o gradiente na expressão da força, temos:
Isso quer dizer que a força em um ponto específico é calculada pegando as derivadas parciais do potencial naquele ponto e multiplicando por .

Resposta

A força em qualquer ponto é dada por:

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