Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do , também determine e : .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um campo vetorial dado por . Nosso objetivo é mostrar que esse campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Além disso, precisamos encontrar a matriz jacobiana e a diferencial .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre diferenciabilidade de funções vetoriais, como calcular derivadas parciais e montar a matriz jacobiana. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função vetorial ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas componentes têm derivadas parciais nesse ponto e se a função é aproximadamente linear perto desse ponto. Basicamente, isso garante que podemos aproximar a função por uma matriz linear (a jacobiana) perto de qualquer ponto.
Como cada componente de é uma função polinomial ou exponencial, que são suaves (infinitamente diferenciáveis), a função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
Passo 3
Agora, vamos calcular a matriz jacobiana . A jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes de em relação a cada variável.
Para , calculamos:
, ,
, ,
, ,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Para :
(pois não há em )
Para :
(derivada de é )
(pois não há em )
Para :
(pois não há em )
Passo 5
Com todas as derivadas parciais calculadas, podemos montar a matriz jacobiana :
[
D \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z) =
]
Passo 6
Agora, vamos determinar a diferencial . A diferencial basicamente aplica a matriz jacobiana aos incrementos , , e .
Matematicamente, temos:
Fazendo a multiplicação entre a matriz jacobiana e o vetor de incrementos:
[
d \overrightarrow{\mathbf{F}} =
\cdot
]
Resposta
Portanto, concluímos que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A matriz jacobiana é: