Em cada caso a seguir justifique que o campo vetorial F = vetor(F) é diferenciável em todos os pontos do Dom(F), também determine D F(x, y, z) e d F((x, y, z), (d x, d y, d z)): F(x, y, z) = (x^2 y, z e^x, x + z).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um campo vetorial dado por . Nosso objetivo é mostrar que esse campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. Além disso, precisamos encontrar a matriz jacobiana e a diferencial .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre diferenciabilidade de funções vetoriais, como calcular derivadas parciais e montar a matriz jacobiana. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função vetorial ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas componentes têm derivadas parciais nesse ponto e se a função é aproximadamente linear perto desse ponto. Basicamente, isso garante que podemos aproximar a função por uma matriz linear (a jacobiana) perto de qualquer ponto.
Como cada componente de é uma função polinomial ou exponencial, que são suaves (infinitamente diferenciáveis), a função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz jacobiana . A jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes de em relação a cada variável.
Para , calculamos:
  • , ,
  • , ,
  • , ,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Para :
    • (pois não há em )
  2. Para :
    • (derivada de é )
    • (pois não há em )
  3. Para :
    • (pois não há em )

Passo 5

Com todas as derivadas parciais calculadas, podemos montar a matriz jacobiana :

[
D \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z) =


]

Passo 6

Agora, vamos determinar a diferencial . A diferencial basicamente aplica a matriz jacobiana aos incrementos , , e .
Matematicamente, temos:
Fazendo a multiplicação entre a matriz jacobiana e o vetor de incrementos:

[
d \overrightarrow{\mathbf{F}} =

\cdot


]

Resposta

Portanto, concluímos que o campo vetorial é diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A matriz jacobiana é:
E a diferencial é:

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