(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O exercício está dividido em duas partes:
(a) Mostrar que a função
definida pelo termo geral da série satisfaz as hipóteses do teste da integral.
(b) Utilizar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender o teste da integral, que é uma ferramenta usada para verificar a convergência de séries. O teste da integral compara uma série infinita com uma integral imprópria correspondente.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): Mostrar que a função
satisfaz as hipóteses do teste da integral.
As hipóteses do teste da integral são:
- A função
deve ser positiva para (onde é algum número natural). - A função
deve ser decrescente para . - A função
deve ser contínua para .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Positiva:
Para todo
, temos
e
, já que o exponencial de qualquer número real é positivo. Portanto,
para
.
2. Decrescente:
Para verificar se
é decrescente, vamos calcular a derivada de
e mostrar que ela é negativa para
.
Calculando a derivada
:
Para
:
Portanto,
para
, o que significa que
é decrescente nesse intervalo.
3. Contínua:
A função
é composta por funções polinomiais e exponenciais, que são contínuas para todos os números reais. Assim,
é contínua para
.
Como todas as três condições são satisfeitas, a função
atende às hipóteses do teste da integral.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): Usar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
O teste da integral afirma que, para uma função
contínua, positiva e decrescente para
:
ambas convergem ou ambas divergem.
Então, vamos calcular a integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
A integral de
de 1 ao infinito é:
Portanto:
Como a integral converge para um valor finito, de acordo com o teste da integral, a série também converge.
Resposta
A série
converge.