(a) Mostre que a função f determinada pelo n^mo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n^2 e^-n^3

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty n^2 e^-n^3
O exercício está dividido em duas partes:
(a) Mostrar que a função definida pelo termo geral da série satisfaz as hipóteses do teste da integral.
(b) Utilizar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender o teste da integral, que é uma ferramenta usada para verificar a convergência de séries. O teste da integral compara uma série infinita com uma integral imprópria correspondente.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): Mostrar que a função satisfaz as hipóteses do teste da integral.
As hipóteses do teste da integral são:
  1. A função deve ser positiva para (onde é algum número natural).
  2. A função deve ser decrescente para .
  3. A função deve ser contínua para .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Positiva:
Para todo f(x) = x^2 e^-x^3 , temos f'(x) = ddx ( x^2 e^-x^3 ) = 2x e^-x^3 + x^2 cdot (-3x^2) e^-x^3 = e^-x^3 (2x - 3x^4) e 2x - 3x^4 <= 2x - 3x = -x <= -1 < 0 , já que o exponencial de qualquer número real é positivo. Portanto, para .
2. Decrescente:
Para verificar se é decrescente, vamos calcular a derivada de e mostrar que ela é negativa para .
Calculando a derivada :
Para :
Portanto, para , o que significa que é decrescente nesse intervalo.
3. Contínua:
A função é composta por funções polinomiais e exponenciais, que são contínuas para todos os números reais. Assim, é contínua para .
Como todas as três condições são satisfeitas, a função atende às hipóteses do teste da integral.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): Usar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
O teste da integral afirma que, para uma função sumn=N^infty f(n) e integralN^infty f(x) , dx contínua, positiva e decrescente para integral1^infty x^2 e^-x^3 , dx :
integral1^infty x^2 e^-x^3 , dx = integralu=1^u=infty e^-u cdot du3 = 13 integral1^infty e^-u , du
ambas convergem ou ambas divergem.
Então, vamos calcular a integral:
integral1^infty e^-u , du = [ -e^-u ]1^infty = 0 - (-e^-1) = e^-1
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja 13 cdot e^-1 = 13e , então , ou seja, .
Substituindo:
A integral de de 1 ao infinito é:
Portanto:
Como a integral converge para um valor finito, de acordo com o teste da integral, a série também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados