Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a série de potências do exponencial. Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita e então integrar termo a termo. Para chegar na resposta, precisaremos calcular alguns termos dessa série e somá-los até obtermos uma aproximação com duas casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função exponencial em uma série de potências:
No nosso caso, . Substituindo, temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série de potências de 0 a 0.5:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral:
A integral de é:
Então:

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos da série para obter uma boa aproximação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Somando esses termos:
Como os próximos termos são ainda menores, podemos parar por aqui e arredondar para duas casas decimais.

Resposta

A aproximação da integral é 0,48.

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Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
a) em
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Represente as seguintes funções em séries de potências de :