Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a série de potências do exponencial. Isso significa que vamos expandir a função
em uma série infinita e então integrar termo a termo. Para chegar na resposta, precisaremos calcular alguns termos dessa série e somá-los até obtermos uma aproximação com duas casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função exponencial
em uma série de potências:
No nosso caso,
. Substituindo, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série de potências de 0 a 0.5:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral:
A integral de
é:
Então:
Passo 4
Vamos calcular os primeiros termos da série para obter uma boa aproximação:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Somando esses termos:
Como os próximos termos são ainda menores, podemos parar por aqui e arredondar para duas casas decimais.
Resposta
A aproximação da integral
é 0,48.
Exercícios relacionados
Prove, usando o teorema acima, que a função dada é contínua no ponto dado.
a) em
a)
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Represente as seguintes funções em séries de potências de
: