Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
integral0^0.5 exp (-x^3) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a série de potências do exponencial. Isso significa que vamos expandir a função em uma série infinita e então integrar termo a termo. Para chegar na resposta, precisaremos calcular alguns termos dessa série e somá-los até obtermos uma aproximação com duas casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função exponencial e^u = sumn=0^infty u^nn! em uma série de potências:
e^-x^3 = sumn=0^infty (-x^3)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^3nn!
No nosso caso, . Substituindo, temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série de potências de 0 a 0.5:
integral0^0.5 e^-x^3 , dx = integral0^0.5 sumn=0^infty (-1)^n x^3nn! , dx
Podemos trocar a ordem da soma e da integral:
= sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^0.5 x^3n , dx
A integral de integral x^3n , dx = x^3n + 13n + 1 é:
= sumn=0^infty (-1)^nn! cdot (0.5)^3n + 13n + 1
Então:

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos da série para obter uma boa aproximação:
  • Para (-1)^00! cdot (0.5)^11 = 1 cdot 0.5 = 0.5 :
    (-1)^11! cdot (0.5)^44 = -1 cdot 0.06254 = -0.015625
  • Para (-1)^22! cdot (0.5)^77 = 1 cdot 0.007812514 approx 0.000558 :
    (-1)^33! cdot (0.5)^1010 = -1 cdot 0.000976562560 approx -0.000016
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Somando esses termos:
0.5 - 0.015625 + 0.000558 - 0.000016 approx 0.484917
Como os próximos termos são ainda menores, podemos parar por aqui e arredondar para duas casas decimais.

Resposta

A aproximação da integral é 0,48.

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