Nos exercícios 1-22, encontre partial f / partial x e partial f / partial y.
f(x, y)=(x+y) /(x y-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de duas variáveis, especialmente a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partialpartial x(uv) = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2 em relação a , ou seja, . A função é um quociente, então usaremos a regra do quociente para derivadas parciais.
A regra do quociente diz que, para uma função , a derivada em relação a é:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = partialpartial x(x + y) = 1 e partial vpartial x = partialpartial x(x y - 1) = y em relação a :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial x = (x y - 1) cdot 1 - (x + y) cdot y(x y - 1)^2
Simplificando o numerador:
(x y - 1) - y(x + y) = x y - 1 - x y - y^2 = -1 - y^2
Então:
partial fpartial x = -1 - y^2(x y - 1)^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partialpartial y(uv) = v cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial yv^2 em relação a , ou seja, . Usaremos novamente a regra do quociente:
Neste caso, e .

Passo 6

Calculando as derivadas parciais de partial upartial y = partialpartial y(x + y) = 1 e partial vpartial y = partialpartial y(x y - 1) = x em relação a :

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial y = (x y - 1) cdot 1 - (x + y) cdot x(x y - 1)^2
Simplificando o numerador:
(x y - 1) - x(x + y) = x y - 1 - x^2 - x y = -1 - x^2
Ent��o:
partial fpartial y = -1 - x^2(x y - 1)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -1 - y^2 (x y -1)^2
e
partial fpartial y = -1 - x^2 (x y -1)^2

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