Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para representar a função
em uma série de potências de
. Isso faz parte do conteúdo de séries de Taylor e séries de Maclaurin, onde a gente expressa funções como somas infinitas de potências de
. Para resolver, vamos precisar lembrar como expandir a função exponencial em série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que fique mais fácil de trabalhar com séries de potências. Podemos separar o expoente:
Aqui,
é uma constante, então nosso foco vai ser expandir
em série de potências.
Passo 3
A série de potências para
é bem conhecida:
Substituindo
por
, temos a série para
:
Passo 4
Agora, voltando à nossa expressão original
, podemos substituir a série que encontramos para
:
Resposta
A representação da função
em série de potências de
é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
.
Em cada caso, use uma série de potências adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.
(a)
(a)
Esboce o gráfico de um exemplo de função de f que satisfaz todas as condições dadas.
g)
g)