Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, o Teorema de Stokes e como aplicar ele em superfícies. A curva
é definida por
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. A equação
pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 com centro em
no plano
. Como também temos
, isso significa que a curva
está no espaço tridimensional, onde
sempre iguala
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada
com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície
limitada por
:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é a rotacional de . -
é o vetor normal à superfície .
Passo 4
Vamos identificar nosso campo vetorial
:
Precisamos calcular a rotacional de
, ou seja,
. A rotacional é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, montamos a rotacional:
Passo 5
Vendo que a rotacional de
é o vetor nulo
, a integral de superfície fica:
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(d) é a interseção da esfera
e o cone
.
(d)
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
(orientada positivamente) em cada caso:
(b) , onde
é a esfera
(b)
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
(orientada positivamente) em cada caso:
© é a superfície do sólido delimitado pelo parabolóide
e o plano
;
©