Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, o Teorema de Stokes e como aplicar ele em superfícies. A curva é definida por e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 com centro em no plano . Como também temos , isso significa que a curva está no espaço tridimensional, onde sempre iguala .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por :
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é a rotacional de .
  • é o vetor normal à superfície .

Passo 4

Vamos identificar nosso campo vetorial :
Precisamos calcular a rotacional de , ou seja, . A rotacional é dada por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, montamos a rotacional:

Passo 5

Vendo que a rotacional de é o vetor nulo , a integral de superfície fica:

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes:

Resposta

A integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(d) é a interseção da esfera e o cone .
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
(b) , onde é a esfera
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
© é a superfície do sólido delimitado pelo parabolóide e o plano ;