Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule integralgamma L d x+M d y+N d z
(b) integralgamma(y+z) d x+(x+z) d y+(x+y) d z, gamma: x^2+y^2=2 y, y=z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, o Teorema de Stokes e como aplicar ele em superfícies. A curva é definida por e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva x^2 + y^2 - 2y = 0 implies x^2 + (y - 1)^2 = 1 . A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 com centro em no plano . Como também temos , isso significa que a curva está no espaço tridimensional, onde sempre iguala .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS com a integral da rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por :
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é a rotacional de .
  • é o vetor normal à superfície .

Passo 4

Vamos identificar nosso campo vetorial F = (y + z, , x + z, , x + y) :
nabla times F = ( partial Npartial y - partial Mpartial z, , partial Lpartial z - partial Npartial x, , partial Mpartial x - partial Lpartial y )
Precisamos calcular a rotacional de partial Npartial y = partial (x + y)partial y = 1 , ou seja, partial Mpartial z = partial (x + z)partial z = 1 . A rotacional é dada por:
partial Lpartial z = partial (y + z)partial z = 1
Vamos calcular cada componente:
partial Npartial x = partial (x + y)partial x = 1
partial Mpartial x = partial (x + z)partial x = 1
partial Lpartial y = partial (y + z)partial y = 1
nabla times F = (1 - 1, , 1 - 1, , 1 - 1) = (0, 0, 0)
Agora, montamos a rotacional:

Passo 5

Vendo que a rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS 0 cdot n , dS = 0 é o vetor nulo , a integral de superfície fica:

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes:
ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = 0

Resposta

A integral é igual a 0.

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