Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
(orientada positivamente) em cada caso:
©
é a superfície do sólido delimitado pelo parabolóide
e o plano
;
©
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma superfície
que é o sólido delimitado pelo parabolóide
e pelo plano
(que é o plano onde
). O objetivo é calcular o fluxo de
através de
utilizando o Teorema de Gauss.
Conteúdo da matéria:
- Teorema de Gauss (Teorema da Divergência)
- Cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície
- Cálculo de integrais múltiplas
O que vamos precisar:
- Entender o Teorema de Gauss
- Calcular a divergência do campo vetorial
- Configurar os limites de integração para o sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano
Passo 2
Vamos começar aplicando o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície.
Matematicamente, o Teorema de Gauss é dado por:
Onde:
-
é o fluxo de através da superfície -
é a integral da divergência de sobre o volume
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Passo 4
Com a divergência calculada, agora precisamos configurar a integral tripla sobre o volume
delimitado pelo parabolóide
e pelo plano
(
).
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
-
-
-
- O elemento de volume é
Limites de integração:
-
varia de até o raio máximo do parabolóide no plano . Quando , , então . -
varia de a para cobrir todo o círculo. -
varia de até , pois o parabolóide está acima do plano .
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla com os limites definidos:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
(b) ;
(b)
Dadas as funções
e
, determinar:
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais: