Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
© é a superfície do sólido delimitado pelo parabolóide e o plano ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma superfície que é o sólido delimitado pelo parabolóide e pelo plano (que é o plano onde ). O objetivo é calcular o fluxo de através de utilizando o Teorema de Gauss.
Conteúdo da matéria:
  • Teorema de Gauss (Teorema da Divergência)
  • Cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície
  • Cálculo de integrais múltiplas
O que vamos precisar:
  • Entender o Teorema de Gauss
  • Calcular a divergência do campo vetorial
  • Configurar os limites de integração para o sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície.
Matematicamente, o Teorema de Gauss é dado por:
Onde:
  • é o fluxo de através da superfície
  • é a integral da divergência de sobre o volume

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:

Passo 4

Com a divergência calculada, agora precisamos configurar a integral tripla sobre o volume delimitado pelo parabolóide e pelo plano ( ).
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
  • O elemento de volume é
Limites de integração:
  • varia de até o raio máximo do parabolóide no plano . Quando , , então .
  • varia de a para cobrir todo o círculo.
  • varia de até , pois o parabolóide está acima do plano .

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla com os limites definidos:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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(b) ;
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