Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de F através de sigma (orientada positivamente) em cada caso:
© F(x, y, z) = x i + y j + k, sigma é a superfície do sólido delimitado pelo parabolóide z = 1 - x^2 - y^2 e o plano x O y;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma superfície sigma que é o sólido delimitado pelo parabolóide e pelo plano (que é o plano onde ). O objetivo é calcular o fluxo de F através de sigma utilizando o Teorema de Gauss.
Conteúdo da matéria:
  • Teorema de Gauss (Teorema da Divergência)
  • Cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície
  • Cálculo de integrais múltiplas
O que vamos precisar:
  • Entender o Teorema de Gauss
  • Calcular a divergência do campo vetorial F
  • Configurar os limites de integração para o sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície.
Matematicamente, o Teorema de Gauss é dado por:
Onde:
  • é o fluxo de F através da superfície sigma
  • é a integral da divergência de F sobre o volume V

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:

Passo 4

Com a divergência calculada, agora precisamos configurar a integral tripla sobre o volume V delimitado pelo parabolóide e pelo plano ( z = 0).
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
  • O elemento de volume é
Limites de integração:
  • r varia de 0 até o raio máximo do parabolóide no plano z = 0. Quando z = 0, , então .
  • theta varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
  • z varia de 0 até , pois o parabolóide está acima do plano .

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla com os limites definidos:
Primeiro, integramos em relação a z:

Passo 6

Agora, integramos em relação a r:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a theta:

Resposta

O fluxo de F através da superfície sigma é pi.

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