Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas de uma função vetorial. A função é dada por
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia e derivadas básicas de funções logarítmicas, trigonométricas e racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a primeira componente da função vetorial:
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
multiplicada pela derivada de
. Aqui,
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Aqui, usamos a regra do poder combinada com a regra da cadeia. A derivada de
é
vezes a derivada de
, onde
.
Então,
Passo 4
Por fim, vamos derivar a terceira componente:
. Para funções racionais, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
. Então,
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função vetorial
é: