Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais: F(t) = (ln(1 - t^2), cos^3(t), (5t - 2)/(2t + 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas de uma função vetorial. A função é dada por . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia e derivadas básicas de funções logarítmicas, trigonométricas e racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente da função vetorial: . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é multiplicada pela derivada de u. Aqui, .
Então,

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Aqui, usamos a regra do poder combinada com a regra da cadeia. A derivada de é vezes a derivada de v, onde .
Então,

Passo 4

Por fim, vamos derivar a terceira componente: . Para funções racionais, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Aqui, e . Então,
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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