Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de F através de sigma (orientada positivamente) em cada caso:
(b) F(x, y, z) = z^3 * i - x^3 * j + y^3 * k, onde sigma é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2, a > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Gauss. O problema pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da esfera , onde . Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo, o Teorema de Gauss, e como calcular a divergência de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quanta “quantidade” do campo está passando pela superfície. O Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) nos permite transformar esse fluxo em uma integral de volume, o que muitas vezes facilita os cálculos.

Passo 3

O Teorema de Gauss diz que:
Aqui, é a divergência do campo , é a superfície fechada (nossa esfera), e é o volume dentro dessa esfera.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de :
Calculando cada termo:
Então,

Passo 5

Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
Portanto, pelo Teorema de Gauss:

Resposta

O fluxo de através da esfera é igual a 0.

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