Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
(orientada positivamente) em cada caso:
(b)
, onde
é a esfera
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Gauss. O problema pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da esfera
, onde
. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo, o Teorema de Gauss, e como calcular a divergência de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quanta “quantidade” do campo está passando pela superfície. O Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) nos permite transformar esse fluxo em uma integral de volume, o que muitas vezes facilita os cálculos.
Passo 3
O Teorema de Gauss diz que:
Aqui,
é a divergência do campo
,
é a superfície fechada (nossa esfera), e
é o volume dentro dessa esfera.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
Portanto, pelo Teorema de Gauss:
Resposta
O fluxo de
através da esfera
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(f) é a parte do cone
abaixo do plano
e acima de
, orientada para baixo.
(f)
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(b) é o quadrado
no plano
orientado positivamente;
(b)
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(d) é a interseção da esfera
e o cone
.
(d)
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
(b) ;
(b)