Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(d) é a interseção da esfera e o cone .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Stokes pra calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção da esfera e do cone . Pra resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e parametrizar a superfície que está limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Em fórmula:
Aqui, é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Então, vamos calcular o rotacional de , que é . Para um campo , o rotacional é dado por:
Vamos identificar da nossa :

Passo 4

Agora, calculamos cada componente do rotacional:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Então, o rotacional de é simplesmente .

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície cuja borda seja a curva . Uma boa escolha aqui é a parte da esfera que está acima do cone . Isso simplifica a parametrização e o cálculo da integral de superfície.

Passo 7

Vamos parametrizar a esfera usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas:
Onde é o ângulo polar (de 0 a ) e é o ângulo azimutal (de 0 a ).

Passo 8

Precisamos encontrar os limites para e . A interseção da esfera com o cone ocorre quando:
Isso implica que , ou seja, .
Então, para a parte da esfera acima do cone, varia de 0 a , e varia de 0 a .

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral de superfície . O vetor normal para a esfera é simplesmente , já que uma esfera centrada na origem tem o vetor posição como normal. Em coordenadas esféricas, .

Passo 10

A integral fica então:
Calculando o produto escalar:

Passo 11

Agora, a área elementar em coordenadas esféricas é:
Então, a integral total é:

Passo 12

Vamos separar a integral em três partes:
Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 13

Primeira integral:
Sabemos que porque o cosseno é uma função ímpar em relação a .
Segunda integral:
Também, pelo mesmo motivo.
Portanto, essas duas primeiras integrais são zero.

Passo 14

A única parte que resta é:
Vamos calcular cada parte:
Podemos usar a substituição , então :
Então:

Passo 15

Multiplicando as duas partes:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
(b) , onde é a esfera
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(f) é a parte do cone abaixo do plano e acima de , orientada para baixo.
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
(b) ;
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais: