Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(d)
é a interseção da esfera
e o cone
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Stokes pra calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a interseção da esfera
e do cone
. Pra resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e parametrizar a superfície que está limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial
sobre uma curva fechada
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como fronteira. Em fórmula:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Então, vamos calcular o rotacional de
, que é
. Para um campo
, o rotacional é dado por:
Vamos identificar
da nossa
:
Passo 4
Agora, calculamos cada componente do rotacional:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Então, o rotacional de
é simplesmente
.
Passo 6
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja borda seja a curva
. Uma boa escolha aqui é a parte da esfera
que está acima do cone
. Isso simplifica a parametrização e o cálculo da integral de superfície.
Passo 7
Vamos parametrizar a esfera usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas:
Onde
é o ângulo polar (de 0 a
) e
é o ângulo azimutal (de 0 a
).
Passo 8
Precisamos encontrar os limites para
e
. A interseção da esfera com o cone
ocorre quando:
Isso implica que
, ou seja,
.
Então, para a parte da esfera acima do cone,
varia de 0 a
, e
varia de 0 a
.
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. O vetor normal
para a esfera é simplesmente
, já que uma esfera centrada na origem tem o vetor posição como normal. Em coordenadas esféricas,
.
Passo 10
A integral fica então:
Calculando o produto escalar:
Passo 11
Agora, a área elementar em coordenadas esféricas é:
Então, a integral total é:
Passo 12
Vamos separar a integral em três partes:
Vamos analisar cada uma separadamente.
Passo 13
Primeira integral:
Sabemos que
porque o cosseno é uma função ímpar em relação a
.
Segunda integral:
Também,
pelo mesmo motivo.
Portanto, essas duas primeiras integrais são zero.
Passo 14
A única parte que resta é:
Vamos calcular cada parte:
Podemos usar a substituição
, então
:
Então:
Passo 15
Multiplicando as duas partes:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
(orientada positivamente) em cada caso:
(b) , onde
é a esfera
(b)
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(f) é a parte do cone
abaixo do plano
e acima de
, orientada para baixo.
(f)
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
(b) ;
(b)
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais: