Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(d) F(x, y, z)=(z+sen x) i+(x+y^2) j+(y+e^z) k, C é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 e o cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Stokes pra calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção da esfera e do cone . Pra resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e parametrizar a superfície que está limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS sobre uma curva fechada é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Em fórmula:
Aqui, é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Então, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i - ( partial Rpartial x - partial Ppartial z ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k , que é . Para um campo , o rotacional é dado por:
Vamos identificar da nossa :

Passo 4

Agora, calculamos cada componente do rotacional:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
nabla times F = (1 - 0)i - (0 - 1)j + (1 - 0)k = i + j + k
Então, o rotacional de é simplesmente .

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície cuja borda seja a curva . Uma boa escolha aqui é a parte da esfera que está acima do cone . Isso simplifica a parametrização e o cálculo da integral de superfície.

Passo 7

Vamos parametrizar a esfera usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas:
x = sin phi cos theta
y = sin phi sin theta
z = cos phi
Onde é o ângulo polar (de 0 a ) e é o ângulo azimutal (de 0 a ).

Passo 8

Precisamos encontrar os limites para cos phi = raizsin^2 phi cos^2 theta + sin^2 phi sin^2 theta = sin phi e . A interseção da esfera com o cone ocorre quando:
Isso implica que , ou seja, .
Então, para a parte da esfera acima do cone, varia de 0 a , e varia de 0 a .

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral de superfície . O vetor normal para a esfera é simplesmente , já que uma esfera centrada na origem tem o vetor posição como normal. Em coordenadas esféricas, .

Passo 10

A integral fica então:
integral duplaS (i + j + k) cdot (sin phi cos theta i + sin phi sin theta j + cos phi k) , dS
Calculando o produto escalar:
(i + j + k) cdot (sin phi cos theta i + sin phi sin theta j + cos phi k) = sin phi cos theta + sin phi sin theta + cos phi

Passo 11

Agora, a área elementar em coordenadas esféricas é:
dS = sin phi , dphi , dtheta
Então, a integral total é:
integral0^2pi integral0^pi4 (sin phi cos theta + sin phi sin theta + cos phi) sin phi , dphi , dtheta

Passo 12

Vamos separar a integral em três partes:
integral0^2pi integral0^pi4 sin^2 phi cos theta , dphi , dtheta + integral0^2pi integral0^pi4 sin^2 phi sin theta , dphi , dtheta + integral0^2pi integral0^pi4 sin phi cos phi , dphi , dtheta
Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 13

Primeira integral:
integral0^2pi cos theta , dtheta times integral0^pi4 sin^2 phi , dphi
Sabemos que integral0^2pi sin theta , dtheta times integral0^pi4 sin^2 phi , dphi porque o cosseno é uma função ímpar em relação a .
Segunda integral:
Também, pelo mesmo motivo.
Portanto, essas duas primeiras integrais são zero.

Passo 14

A única parte que resta é:
integral0^2pi dtheta times integral0^pi4 sin phi cos phi , dphi
Vamos calcular cada parte:
  1. integral sin phi cos phi , dphi = 12 sin^2 phi
  2. integral0^pi4 sin phi cos phi , dphi = 12 ( sin^2 pi4 - sin^2 0 ) = 12 ( (raiz22)^2 - 0 ) = 12 times 12 = 14
Podemos usar a substituição , então :
Então:

Passo 15

Multiplicando as duas partes:
2pi times 14 = pi2

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados