Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
©
é a curva de interseção da fronteira do cubo
com plano
;
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha
onde
é a curva de interseção da fronteira do cubo
,
,
com o plano
. Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Para aplicar o teorema, precisamos transformar a integral de linha em uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, identificamos o campo vetorial
que está sendo integrado na curva
. Aqui,
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
Componente i:Então,
. -
Componente j:Então,
. -
Componente k:Então,
.
Portanto,
Passo 4
Segundo o Teorema de Stokes, a integral de linha
é igual à integral de superfície
, onde
é uma superfície limitada por
e
é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Vamos escolher a superfície
como a parte do plano
que está dentro do cubo. Precisamos encontrar o vetor normal a essa superfície. O plano
tem vetor normal
.
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Mas no plano
, então
. Substituindo:
Passo 7
Agora, a integral de superfície fica:
Precisamos encontrar a área da interseção do plano com o cubo. A interseção é um triângulo equilátero com lado
, mas para facilitar, podemos usar que a área do triângulo no plano
dentro do cubo é
. Após calcular, obtemos:
Passo 8
Multiplicando:
Resposta
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso
© é o cone
, orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos
;
©
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
© em que
em torno do eixo-
.
©
Calcule a integral dupla: b.
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(b) é o quadrado
no plano
orientado positivamente;
(b)