Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule integralgamma L d x+M d y+N d z
© integralgamma(y^2-z^2) d x+(z^2-x^2) d y+(x^2-y^2) d z, gamma é a curva de interseção da fronteira do cubo 0 <= x <= a, 0 <= y <= a, 0 <= z <= a com plano x+y+z=32 a;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha onde é a curva de interseção da fronteira do cubo , , com o plano . Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Para aplicar o teorema, precisamos transformar a integral de linha em uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, identificamos o campo vetorial que está sendo integrado na curva . Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partialpartial y(x^2 - y^2) - partialpartial z(z^2 - x^2) ) i + ( partialpartial z(y^2 - z^2) - partialpartial x(x^2 - y^2) ) j + ( partialpartial x(z^2 - x^2) - partialpartial y(y^2 - z^2) ) k , ou seja, partialpartial y(x^2 - y^2) = -2y . O rotacional é dado por:
partialpartial z(z^2 - x^2) = 2z
Vamos calcular cada componente:
  • Componente i:
    partialpartial z(y^2 - z^2) = -2z
    partialpartial x(x^2 - y^2) = 2x
    Então, partialpartial x(z^2 - x^2) = -2x .
  • Componente j:
    partialpartial y(y^2 - z^2) = 2y
    nabla times F = (-2y - 2z) i + (-2z - 2x) j + (-2x - 2y) k
    Então, .
  • Componente k:
    Então, .
Portanto,

Passo 4

Segundo o Teorema de Stokes, a integral de linha é igual à integral de superfície , onde é uma superfície limitada por e é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Vamos escolher a superfície como a parte do plano que está dentro do cubo. Precisamos encontrar o vetor normal a essa superfície. O plano tem vetor normal .

Passo 6

Calculamos o produto escalar (nabla times F) cdot n = 1raiz3 [(-2y - 2z) + (-2z - 2x) + (-2x - 2y)] = 1raiz3 (-4x - 4y - 4z) = -4raiz3 (x + y + z) :
(nabla times F) cdot n = -4raiz3 ( 32a ) = -6araiz3 = -2raiz3a
Mas no plano , então . Substituindo:

Passo 7

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = -2raiz3a cdot Área(S) Á
Precisamos encontrar a área da interseção do plano com o cubo. A interseção é um triângulo equilátero com lado Área(S) = 3a^22 , mas para facilitar, podemos usar que a área do triângulo no plano dentro do cubo é . Após calcular, obtemos:
Á

Passo 8

Multiplicando:
-2raiz3a cdot 3a^22 = -3raiz3a^3

Resposta

integralgamma (y^2 - z^2) dx + (z^2 - x^2) dy + (x^2 - y^2) dz = -3raiz3a^3

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