Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
© é a curva de interseção da fronteira do cubo com plano ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha onde é a curva de interseção da fronteira do cubo , , com o plano . Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Para aplicar o teorema, precisamos transformar a integral de linha em uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, identificamos o campo vetorial que está sendo integrado na curva . Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , ou seja, . O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  • Componente i:
    Então, .
  • Componente j:
    Então, .
  • Componente k:
    Então, .
Portanto,

Passo 4

Segundo o Teorema de Stokes, a integral de linha é igual à integral de superfície , onde é uma superfície limitada por e é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Vamos escolher a superfície como a parte do plano que está dentro do cubo. Precisamos encontrar o vetor normal a essa superfície. O plano tem vetor normal .

Passo 6

Calculamos o produto escalar :
Mas no plano , então . Substituindo:

Passo 7

Agora, a integral de superfície fica:
Á
Precisamos encontrar a área da interseção do plano com o cubo. A interseção é um triângulo equilátero com lado , mas para facilitar, podemos usar que a área do triângulo no plano dentro do cubo é . Após calcular, obtemos:
Á

Passo 8

Multiplicando:

Resposta

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Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso
© é o cone , orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
© em que em torno do eixo- .
Calcule a integral dupla: b.
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(b) é o quadrado no plano orientado positivamente;