Calcule phi=integral duplasigma F cdot n d S, o fluxo de F através de sigma, em cada caso:
(b) F(x, y, z)=x k, sigma é o quadrado 0 <= x <= 2,0 <= y <= 2 no plano x O y orientado positivamente;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é um quadrado no plano com e . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de fluxo através de uma superfície plana.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o fluxo. O fluxo phi = integral duplasigma F cdot n , dS mede a quantidade de campo vetorial que passa através da superfície . Matematicamente, é dado por:
Aqui, é o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como a superfície n = k = (0, 0, 1) está no plano , o vetor normal aponta na direção positiva do eixo , que é . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n = x k cdot k = x (0 cdot 0 + 0 cdot 0 + 1 cdot 1) = x . Substituindo e :

Passo 5

Com o produto escalar phi = integral duplasigma x , dS encontrado, a integral do fluxo fica:
phi = integral0^2 integral0^2 x , dy , dx
Como a superfície é um quadrado no plano , podemos expressar como . Então:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, com relação a integral0^2 x , dy = x integral0^2 dy = x [y]0^2 = x (2 - 0) = 2x :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
phi = integral0^2 2x , dx
Resolvendo essa integral:
phi = 2 integral0^2 x , dx = 2 [ x^22 ]0^2 = 2 ( 42 - 0 ) = 2 times 2 = 4

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a 4.

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