Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(b)
é o quadrado
no plano
orientado positivamente;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo
do campo vetorial
através da superfície
, que é um quadrado no plano
com
e
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de fluxo através de uma superfície plana.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o fluxo. O fluxo
mede a quantidade de campo vetorial que passa através da superfície
. Matematicamente, é dado por:
Aqui,
é o produto escalar entre o campo vetorial
e o vetor normal
à superfície.
Passo 3
Como a superfície
está no plano
, o vetor normal
aponta na direção positiva do eixo
, que é
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Substituindo
e
:
Passo 5
Com o produto escalar
encontrado, a integral do fluxo fica:
Como a superfície
é um quadrado no plano
, podemos expressar
como
. Então:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, com relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resolvendo essa integral:
Resposta
O fluxo
do campo vetorial
através da superfície
é igual a 4.