Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(b) é o quadrado no plano orientado positivamente;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é um quadrado no plano com e . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de fluxo através de uma superfície plana.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o fluxo. O fluxo mede a quantidade de campo vetorial que passa através da superfície . Matematicamente, é dado por:
Aqui, é o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como a superfície está no plano , o vetor normal aponta na direção positiva do eixo , que é . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar . Substituindo e :

Passo 5

Com o produto escalar encontrado, a integral do fluxo fica:
Como a superfície é um quadrado no plano , podemos expressar como . Então:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, com relação a :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resolvendo essa integral:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a 4.

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla: b.
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
© é a curva de interseção da fronteira do cubo com plano ;
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(f) é a parte do cone abaixo do plano e acima de , orientada para baixo.
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
(b) , onde é a esfera