Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
©
em que
em torno do eixo-
.
©
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas:
- A hipérbole
. - A reta vertical
, onde e .
Queremos encontrar o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada por essas curvas em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou método das cascas cilíndricas. Vamos ver qual método se aplica melhor aqui.
Passo 2
Vamos desenhar as curvas para visualizar melhor a região que vamos girar.
- A equação
representa uma hipérbole que se abre horizontalmente. - A reta
é uma linha vertical à direita do vértice da hipérbole.
Ao desenhar, vemos que a região limitada por essas duas curvas fica à direita da hipérbole e à esquerda da reta vertical.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é mais conveniente. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo vertical (
), e as funções estão expressas em termos de
.
A fórmula do método das cascas cilíndricas é:
Onde:
-
é a distância do elemento à rotação (eixo ). -
é a altura da casca cilíndrica em função de .
Passo 4
Precisamos encontrar os limites de integração, ou seja, os valores de
onde as duas curvas se intersectam.
A reta
corta a hipérbole
. Para encontrar o ponto de interseção, substituímos:
Portanto, os limites de
são de
a
, mas como usaremos o método das cascas em relação a
, os limites de
serão de
a
.
Passo 5
Vamos identificar a altura
da casca cilíndrica. A altura é a diferença entre os valores de
na hipérbole e na reta, para cada
.
A hipérbole está definida por:
Como a reta é vertical e tem a equação
, a altura da casca é:
(O fator 2 vem do fato de que a hipérbole tem simetria em relação ao eixo
.)
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula do método das cascas cilíndricas:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição:
Substituindo na integral:
Voltando à integral original:
Resposta
O volume do sólido obtido é
.
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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(b) em torno de
;
(b)
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a) é a circunferência
no plano
;
(a)
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso
© é o cone
, orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos
;
©
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
© é a curva de interseção da fronteira do cubo
com plano
;
©