Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
© em que em torno do eixo- .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas:
  1. A hipérbole .
  2. A reta vertical , onde e .
Queremos encontrar o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada por essas curvas em torno do eixo . Para isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou método das cascas cilíndricas. Vamos ver qual método se aplica melhor aqui.

Passo 2

Vamos desenhar as curvas para visualizar melhor a região que vamos girar.
  1. A equação representa uma hipérbole que se abre horizontalmente.
  2. A reta é uma linha vertical à direita do vértice da hipérbole.
Ao desenhar, vemos que a região limitada por essas duas curvas fica à direita da hipérbole e à esquerda da reta vertical.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é mais conveniente. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo vertical ( ), e as funções estão expressas em termos de .
A fórmula do método das cascas cilíndricas é:
Onde:
  • é a distância do elemento à rotação (eixo ).
  • é a altura da casca cilíndrica em função de .

Passo 4

Precisamos encontrar os limites de integração, ou seja, os valores de onde as duas curvas se intersectam.
A reta corta a hipérbole . Para encontrar o ponto de interseção, substituímos:
Portanto, os limites de são de a , mas como usaremos o método das cascas em relação a , os limites de serão de a .

Passo 5

Vamos identificar a altura da casca cilíndrica. A altura é a diferença entre os valores de na hipérbole e na reta, para cada .
A hipérbole está definida por:
Como a reta é vertical e tem a equação , a altura da casca é:
(O fator 2 vem do fato de que a hipérbole tem simetria em relação ao eixo .)

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula do método das cascas cilíndricas:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição:
Substituindo na integral:
Voltando à integral original:

Resposta

O volume do sólido obtido é .

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(b) em torno de ;
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a) é a circunferência no plano ;
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso
© é o cone , orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos ;
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
© é a curva de interseção da fronteira do cubo com plano ;