Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso
©
é o cone
, orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos
;
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular a integral de superfície da rotação de F sobre a superfície σ, que é um cone definido por
de
até
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, que basicamente relaciona uma integral de superfície com uma integral de linha ao redor da borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral da rotação de F sobre a superfície σ é igual à integral de linha de F ao longo da borda de σ. Nosso objetivo, então, é calcular essa integral de linha.
Passo 3
Vamos identificar a borda da superfície σ. Como σ é um cone de
a
, a borda será o círculo na base superior do cone, onde
. Então, nossa curva
é o círculo
,
.
Passo 4
Vamos parametrizar essa curva. Como é um círculo no plano
, podemos usar coordenadas polares para
e
:
Então, a posição vetorial na curva é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Então,
Passo 6
Vamos avaliar F ao longo da curva. Substituindo
,
, e
em F:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 8
Para integrar
de
a
:
Vamos separar as integrais:
Passo 9
Vamos resolver cada integral:
- Para
, podemos usar substituição , :
Avaliado de 0 a
:
- Para
, usamos , :
Avaliado de 0 a
:
Passo 10
Somando as duas integrais:
Resposta
O valor da integral é
.
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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
© em que
em torno do eixo-
.
©
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(b) em torno de
;
(b)
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
© é a curva de interseção da fronteira do cubo
com plano
;
©
Calcule a integral dupla: b.