Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso
© é o cone , orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular a integral de superfície da rotação de F sobre a superfície σ, que é um cone definido por de até . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, que basicamente relaciona uma integral de superfície com uma integral de linha ao redor da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral da rotação de F sobre a superfície σ é igual à integral de linha de F ao longo da borda de σ. Nosso objetivo, então, é calcular essa integral de linha.

Passo 3

Vamos identificar a borda da superfície σ. Como σ é um cone de a , a borda será o círculo na base superior do cone, onde . Então, nossa curva é o círculo , .

Passo 4

Vamos parametrizar essa curva. Como é um círculo no plano , podemos usar coordenadas polares para e :
Então, a posição vetorial na curva é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Então,

Passo 6

Vamos avaliar F ao longo da curva. Substituindo , , e em F:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 8

Para integrar de a :
Vamos separar as integrais:

Passo 9

Vamos resolver cada integral:
  1. Para , podemos usar substituição , :
Avaliado de 0 a :
  1. Para , usamos , :
Avaliado de 0 a :

Passo 10

Somando as duas integrais:

Resposta

O valor da integral é .

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
© em que em torno do eixo- .
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(b) em torno de ;
Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
© é a curva de interseção da fronteira do cubo com plano ;
Calcule a integral dupla: b.