Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplasigma rot F cdot n d S em cada caso
© F(x, y, z)=(x^2 y z^2) i+x^2 y j+x^2 z^2 k, sigma é o cone x=raizy^2+z^2, 0 <= x <= 2, orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular a integral de superfície da rotação de F sobre a superfície σ, que é um cone definido por de até . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, que basicamente relaciona uma integral de superfície com uma integral de linha ao redor da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
integral duplasigma (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial sigma F cdot dr
Ou seja, a integral da rotação de F sobre a superfície σ é igual à integral de linha de F ao longo da borda de σ. Nosso objetivo, então, é calcular essa integral de linha.

Passo 3

Vamos identificar a borda da superfície σ. Como σ é um cone de a , a borda será o círculo na base superior do cone, onde . Então, nossa curva é o círculo , .

Passo 4

Vamos parametrizar essa curva. Como é um círculo no plano y = 2 cos theta, z = 2 sin theta, theta in [0, 2pi] , podemos usar coordenadas polares para r(theta) = 2 cos theta , j + 2 sin theta , k + 2 i e :
Então, a posição vetorial na curva é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar drdtheta = -2 sin theta , j + 2 cos theta , k , que é a derivada de dr = (-2 sin theta , j + 2 cos theta , k) dtheta em relação a :
Então,

Passo 6

Vamos avaliar F ao longo da curva. Substituindo F = ( (2)^2 (2 cos theta) (2 sin theta)^2 ) i + (2)^2 (2 cos theta) j + (2)^2 (2 sin theta)^2 k , F = (4 cdot 2 cos theta cdot 4 sin^2 theta) i + (4 cdot 2 cos theta) j + (4 cdot 4 sin^2 theta) k = 32 cos theta sin^2 theta , i + 8 cos theta , j + 16 sin^2 theta , k , e em F:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr = (32 cos theta sin^2 theta)(0) + (8 cos theta)(-2 sin theta) + (16 sin^2 theta)(2 cos theta) :
F cdot dr = 0 - 16 cos theta sin theta + 32 cos theta sin^2 theta = -16 cos theta sin theta + 32 cos theta sin^2 theta
Simplificando:

Passo 8

Para integrar ointpartial sigma F cdot dr = integral0^2pi ( -16 cos theta sin theta + 32 cos theta sin^2 theta ) dtheta de -16 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta + 32 integral0^2pi cos theta sin^2 theta , dtheta a :
Vamos separar as integrais:

Passo 9

Vamos resolver cada integral:
  1. Para integral cos theta sin theta , dtheta = 12 sin^2 theta , podemos usar substituição 12 (sin^2 2pi - sin^2 0) = 0 , integral cos theta sin^2 theta , dtheta = integral u^2 , du = 13 u^3 = 13 sin^3 theta :
13 (sin^3 2pi - sin^3 0) = 0
Avaliado de 0 a :
  1. Para , usamos , :
Avaliado de 0 a :

Passo 10

Somando as duas integrais:
-16 cdot 0 + 32 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral é .

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