Calcule a integral dupla: b. integral duplaR x y e^y d A ; R=(x, y) ; 0 <= x <= 2 ; 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu. A gente precisa calcular integral duplaR x y e^y , dA, onde a região R é o retângulo definido por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que envolve integrar primeiro uma variável e depois a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada. Ou seja, podemos integrar em relação a y primeiro e depois em relação a x, ou vice-versa. Vou integrar primeiro em relação a y:
integral0^2 ( integral0^1 x y e^y , dy ) dx

Passo 3

Vamos focar na integral interna: integral0^1 x y e^y , dy. Aqui, x é uma constante em relação a y, então podemos tirá-lo da integral:
x integral0^1 y e^y , dy

Passo 4

Para resolver integral y e^y , dy, vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos:
  • u = y du = dy
  • dv = e^y , dy v = e^y
Aplicando a fórmula:
integral y e^y , dy = y e^y - integral e^y , dy = y e^y - e^y + C

Passo 5

Agora, aplicando os limites de integração de 0 a 1:
[ y e^y - e^y ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 -1) = 0 + 1 = 1
Então, a integral interna ficou:
x cdot 1 = x

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^2 x , dx
Essa é uma integral simples de x em relação a x:
12 x^2 |0^2 = 12 (2)^2 - 12 (0)^2 = 12 cdot 4 - 0 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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