Calcule a integral dupla: b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu. A gente precisa calcular , onde a região é o retângulo definido por e . Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que envolve integrar primeiro uma variável e depois a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada. Ou seja, podemos integrar em relação a primeiro e depois em relação a , ou vice-versa. Vou integrar primeiro em relação a :

Passo 3

Vamos focar na integral interna: . Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirá-lo da integral:

Passo 4

Para resolver , vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, aplicando os limites de integração de a :
Então, a integral interna ficou:

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
Essa é uma integral simples de em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, use o Teorema de Stokes e calcule
© é a curva de interseção da fronteira do cubo com plano ;
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso
© é o cone , orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos ;
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(b) é o quadrado no plano orientado positivamente;
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(f) é a parte do cone abaixo do plano e acima de , orientada para baixo.