Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o Critério da Integral. Para isso, precisamos identificar uma função que estende o termo geral da série e verificar se ela satisfaz as condições necessárias para aplicar o critério. Depois, calculamos a integral correspondente para determinar a natureza da série.
Passo 2
Vamos começar identificando a função que estende o termo geral da série. O termo geral da série é:
Podemos estender isso para uma função contínua de variável real
:
Para aplicar o Critério da Integral, precisamos que essa função
seja positiva, contínua e decrescente para todo
maior ou igual a algum número
.
Passo 3
Vamos verificar as condições necessárias:
-
Positiva: Para
, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então é positiva. -
Contínua: A função
é uma raz��o de polinômios e, como o denominador nunca é zero para , é contínua nesse intervalo. -
Decrescente: Vamos verificar se
está decrescendo para . Calculando a derivada de :
Para
, o termo
é negativo (pois
domina sobre
), então
. Assim,
é decrescente para
.
Portanto, todas as condições do Critério da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Agora, aplicamos o Critério da Integral. Segundo o critério, a série
converge se e somente se a integral
converge, onde
é o número a partir do qual
é positiva, contínua e decrescente.
Vamos calcular a integral:
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Para
grande,
se torna insignificante, então a função se comporta aproximadamente como:
A integral de
de
a
é:
Como a integral diverge, pelo Critério da Integral, a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.