Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 n^2n^3+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty 2 n^2n^3+1
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o Critério da Integral. Para isso, precisamos identificar uma função que estende o termo geral da série e verificar se ela satisfaz as condições necessárias para aplicar o critério. Depois, calculamos a integral correspondente para determinar a natureza da série.

Passo 2

Vamos começar identificando a função que estende o termo geral da série. O termo geral da série é:
an = 2 n^2n^3+1
Podemos estender isso para uma função contínua de variável real f(x) = 2 x^2x^3+1:
Para aplicar o Critério da Integral, precisamos que essa função seja positiva, contínua e decrescente para todo maior ou igual a algum número .

Passo 3

Vamos verificar as condições necessárias:
  1. Positiva: Para f'(x) = ddx ( 2x^2x^3 + 1 ) = (4x)(x^3 + 1) - 2x^2(3x^2)(x^3 + 1)^2 = 4x(x^3 + 1) - 6x^4(x^3 + 1)^2 = 4x^4 + 4x - 6x^4(x^3 + 1)^2 = -2x^4 + 4x(x^3 + 1)^2, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então é positiva.
  2. Contínua: A função é uma raz��o de polinômios e, como o denominador nunca é zero para , é contínua nesse intervalo.
  3. Decrescente: Vamos verificar se está decrescendo para . Calculando a derivada de :
Para , o termo é negativo (pois domina sobre ), então . Assim, é decrescente para .
Portanto, todas as condições do Critério da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Agora, aplicamos o Critério da Integral. Segundo o critério, a série integral1^infty 2x^2x^3 + 1 , dx converge se e somente se a integral 2x^2x^3 + 1 = 2x + 1x^2 converge, onde 2x é o número a partir do qual integral1^infty 2x , dx = 2 ln(x) |1^infty = 2 ( limx to infty ln(x) - ln(1) ) = 2 (infty - 0) = infty é positiva, contínua e decrescente.
Vamos calcular a integral:
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :
Para grande, se torna insignificante, então a função se comporta aproximadamente como:
A integral de de a é:
Como a integral diverge, pelo Critério da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série
sumn=1^infty 2 n^2n^3+1
diverge.

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Calcule as integrais: integral tan ^5(x) sec ^3(x) d x;
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 5n(log n)^2
Calcule a derivada das funções:
f(x) = sen(3x) - cos(2x)
Determine o valor dos seguintes limites:
(l) lim x 2 4 x-x^22-raizx.