Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o Critério da Integral. Para isso, precisamos identificar uma função que estende o termo geral da série e verificar se ela satisfaz as condições necessárias para aplicar o critério. Depois, calculamos a integral correspondente para determinar a natureza da série.
Passo 2
Vamos começar identificando a função que estende o termo geral da série. O termo geral da série é:
Podemos estender isso para uma função contínua de variável real :
Para aplicar o Critério da Integral, precisamos que essa função seja positiva, contínua e decrescente para todo maior ou igual a algum número .
Passo 3
Vamos verificar as condições necessárias:
Positiva: Para , tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então é positiva.
Contínua: A função é uma raz��o de polinômios e, como o denominador nunca é zero para , é contínua nesse intervalo.
Decrescente: Vamos verificar se está decrescendo para . Calculando a derivada de :
Para , o termo é negativo (pois domina sobre ), então . Assim, é decrescente para .
Portanto, todas as condições do Critério da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Agora, aplicamos o Critério da Integral. Segundo o critério, a série converge se e somente se a integral converge, onde é o número a partir do qual é positiva, contínua e decrescente.
Vamos calcular a integral:
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :
Para grande, se torna insignificante, então a função se comporta aproximadamente como:
A integral de de a é:
Como a integral diverge, pelo Critério da Integral, a série também diverge.