Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem, que é
. A gente também tem uma função específica,
, e precisamos verificar se ela é solução dessa equação. Depois, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente uma solução da equação
. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
- A primeira derivada de
é . - A segunda derivada é
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e suas derivadas na equação diferencial:
Como a substituição resulta em
, isso confirma que
é, de fato, uma solução da equação.
Passo 5
Para encontrar a solução geral da equação diferencial
, vamos resolver a equaç��o característica associada. A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial:
Passo 6
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Passo 7
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
onde
e
são constantes arbitrárias.