Em cada caso, verique que a função y1 dada é solução da EDO e encontre sua solução geral. y'' - y = 0, y1(x) = e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem, que é . A gente também tem uma função específica, , e precisamos verificar se ela é solução dessa equação. Depois, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente uma solução da equação . Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de y1(x).

Passo 3

Calculando as derivadas:
  • A primeira derivada de y1(x) é .
  • A segunda derivada é .

Passo 4

Agora, vamos substituir y1(x) e suas derivadas na equação diferencial:
Como a substituição resulta em , isso confirma que é, de fato, uma solução da equação.

Passo 5

Para encontrar a solução geral da equação diferencial , vamos resolver a equaç��o característica associada. A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial:

Passo 6

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:

Passo 7

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

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