Considere a EDO , onde . Encontre uma segunda solução da EDO que forme com um conjunto fundamental. Escreva a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) , onde sabemos que . Esse é um problema de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções para EDOs com raízes reais e iguais na equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica da EDO. Para uma equação da forma , a equação característica é:
Isso nos ajuda a encontrar os valores de que determinam as soluções da EDO.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica. Sabemos que , o que significa que temos raízes reais e iguais. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, nossa raiz dupla é .

Passo 4

Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da EDO é formada por duas funções lineares independentes. A primeira solução é:
Para encontrar a segunda solução, que é independente da primeira, usamos:
Essa segunda solução garante que e formem um conjunto fundamental de soluções.

Passo 5

Agora que temos as duas soluções e , podemos escrever a solução geral da EDO combinando-as com constantes arbitrárias e :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Calcule:
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Em cada caso, verique que a função dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Em cada caso, verique que a função dada é solução da EDO e encontre sua solução geral. para