Considere a EDO
, onde
. Encontre uma segunda solução da EDO que forme com
um conjunto fundamental. Escreva a solução geral da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
, onde sabemos que
. Esse é um problema de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções para EDOs com raízes reais e iguais na equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica da EDO. Para uma equação da forma
, a equação característica é:
Isso nos ajuda a encontrar os valores de
que determinam as soluções da EDO.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica. Sabemos que
, o que significa que temos raízes reais e iguais. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, nossa raiz dupla é
.
Passo 4
Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da EDO é formada por duas funções lineares independentes. A primeira solução é:
Para encontrar a segunda solução, que é independente da primeira, usamos:
Essa segunda solução garante que
e
formem um conjunto fundamental de soluções.
Passo 5
Agora que temos as duas soluções
e
, podemos escrever a solução geral da EDO combinando-as com constantes arbitrárias
e
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Calcule:
Calcule:
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
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