Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função
. Aqui,
é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função
a partir de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de transformadas de Laplace, especificamente a regra de deslocamento no tempo (também conhecida como teorema do atraso).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso, a função que queremos transformar é
. A presença da função degrau
indica que a função
começa a existir a partir de
.
Passo 3
Para lidar com a função degrau, utilizamos a regra de deslocamento no tempo, que diz:
onde
é a transformada de Laplace de
. Porém, precisamos ajustar nossa função para se encaixar nessa fórmula. Observe que temos
, que é equivalente a
.
Passo 4
Para aplicar o teorema do deslocamento, precisamos expressar
de forma que fique em termos de
. Podemos escrever:
pois
. Assim, temos:
Passo 5
Agora, identificamos
e
. Aplicando a regra de deslocamento, temos:
Passo 6
Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
Passo 7
Substituindo essa expressão na equação anterior, obtemos:
Resposta
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Calcule:
Calcule:
Considere a EDO
, onde
. Encontre uma segunda solução da EDO que forme com
um conjunto fundamental. Escreva a solução geral da equação.
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.