Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função . Aqui, é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função a partir de . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de transformadas de Laplace, especificamente a regra de deslocamento no tempo (também conhecida como teorema do atraso).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, a função que queremos transformar é . A presença da função degrau indica que a função começa a existir a partir de .

Passo 3

Para lidar com a função degrau, utilizamos a regra de deslocamento no tempo, que diz:
onde é a transformada de Laplace de . Porém, precisamos ajustar nossa função para se encaixar nessa fórmula. Observe que temos , que é equivalente a .

Passo 4

Para aplicar o teorema do deslocamento, precisamos expressar de forma que fique em termos de . Podemos escrever:
pois . Assim, temos:

Passo 5

Agora, identificamos e . Aplicando a regra de deslocamento, temos:

Passo 6

Sabemos que a transformada de Laplace de é:

Passo 7

Substituindo essa expressão na equação anterior, obtemos:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule:
Calcule:
Considere a EDO , onde . Encontre uma segunda solução da EDO que forme com um conjunto fundamental. Escreva a solução geral da equação.
Em cada caso, verique que a função dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.