Em cada caso, verique que a função dada é solução da EDO e encontre sua solução geral. para

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é uma solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada por para . Depois, precisamos encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de e substituir na EDO para conferir se dá tudo certo. Também vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada de :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir e na EDO para verificar se ela é satisfeita:
Como a igualdade se confirma, é realmente uma solução da EDO.

Passo 5

Agora, para encontrar a solução geral da EDO , percebemos que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Sabemos que, se já temos uma solução , podemos encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem.

Passo 6

Assumimos que a segunda solução tem a forma . Vamos derivar essa expressão:

Passo 7

Substituímos e suas derivadas na EDO:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:

Passo 8

Dividindo toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 9

Vamos fazer uma substituição para resolver essa equação de . Seja , então . A equação fica:
Que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 10

Resolvendo a equação para :
Integrando ambos os lados:

Passo 11

Agora, integramos para achar :
Podemos simplificar a constante e escrever:

Passo 12

Substituindo de volta em :
Como e são constantes arbitrárias, podemos renomear as constantes e obter:

Resposta

A solução geral da EDO para é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Em cada caso, verique que a função dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Considere a EDO , onde . Encontre uma segunda solução da EDO que forme com um conjunto fundamental. Escreva a solução geral da equação.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Em cada caso, verique que a função dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.