Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é uma solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada por
para
. Depois, precisamos encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e substituir na EDO para conferir se dá tudo certo. Também vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
:
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos substituir
e
na EDO para verificar se ela é satisfeita:
Como a igualdade se confirma,
é realmente uma solução da EDO.
Passo 5
Agora, para encontrar a solução geral da EDO
, percebemos que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Sabemos que, se já temos uma solução
, podemos encontrar uma segunda solução
usando o método de redução de ordem.
Passo 6
Assumimos que a segunda solução tem a forma
. Vamos derivar essa expressão:
Passo 7
Substituímos
e suas derivadas na EDO:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Passo 8
Dividindo toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Vamos fazer uma substituição para resolver essa equação de
. Seja
, então
. A equação fica:
Que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 10
Resolvendo a equação para
:
Integrando ambos os lados:
Passo 11
Agora, integramos
para achar
:
Podemos simplificar a constante e escrever:
Passo 12
Substituindo
de volta em
:
Como
e
são constantes arbitrárias, podemos renomear as constantes e obter:
Resposta
A solução geral da EDO
para
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Considere a EDO
, onde
. Encontre uma segunda solução da EDO que forme com
um conjunto fundamental. Escreva a solução geral da equação.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.