Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO)
. Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica comum para EDOs lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da EDO. A equação está na forma
, onde:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Passo 3
Agora, escrevemos a equação característica associada à EDO. A equação característica é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Resolvemos a equação característica para encontrar as raízes
. Vamos calcular o discriminante
:
Como o discriminante é zero (
), temos uma raiz real dupla.
Passo 5
Calculamos a raiz dupla:
Então, as raízes são
.
Passo 6
Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da EDO é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes reais.
Exercícios relacionados
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
para
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Considere a EDO
. Determine a constante
tal que
seja solução da EDO dada.