Encontre a solução geral das seguintes EDOs:

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) . Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica comum para EDOs lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da EDO. A equação está na forma , onde:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )

Passo 3

Agora, escrevemos a equação característica associada à EDO. A equação característica é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Resolvemos a equação característica para encontrar as raízes . Vamos calcular o discriminante :
Como o discriminante é zero ( ), temos uma raiz real dupla.

Passo 5

Calculamos a raiz dupla:
Então, as raízes são .

Passo 6

Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da EDO é dada por:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes reais.

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Considere a EDO . Determine a constante tal que seja solução da EDO dada.