Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear
, dado por sua matriz
em relação a base canônica
, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal.
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos um operador linear
representado pela matriz
em relação à base canônica. Nosso objetivo é descobrir se esse operador é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal correspondente. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na teoria de matrizes e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso para a nossa matriz:
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema
para cada
.
Para
:
[
[T]_C - \lambda_1 I =
]
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, temos
. Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor associado a
é
.
Para
:
[
[T]_C - \lambda_2 I =
]
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, temos
. Escolhendo
, então
. Assim, um autovetor associado a
é
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos concluir que a matriz é diagonalizável no campo dos números complexos
, já que temos dois autovalores distintos e autovetores correspondentes linearmente independentes.
A base de autovetores é formada por
e
:
A forma diagonal da matriz
nessas bases será uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes:
Resposta
O operador linear é diagonalizável. Uma base de autovetores é
e sua forma diagonal é