Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n, dado por sua matriz [T]C em relação a base canônica C, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal.
[cc2 & 1 -1 & 2], K=C.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos um operador linear 2 & 1 -1 & 2 representado pela matriz
em relação à base canônica. Nosso objetivo é descobrir se esse operador é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal correspondente. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na teoria de matrizes e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores de det([T]C - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
[T]C - lambda I = 2 - lambda & 1 -1 & 2 - lambda
onde det([T]C - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(1) = (2 - lambda)^2 + 1 é a matriz identidade. Vamos calcular isso para a nossa matriz:
(2 - lambda)^2 + 1 = 0 (2 - lambda)^2 = -1 2 - lambda = pm i lambda = 2 pm i
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos o sistema [T]C - lambda1 I = 2 - (2 + i) & 1 -1 & 2 - (2 + i) = -i & 1 -1 & -i para cada -i v1 + v2 = 0 - v1 - i v2 = 0 .
Para 1 i :

[
[T]_C - \lambda_1 I =
[T]C - lambda2 I = 2 - (2 - i) & 1 -1 & 2 - (2 - i) = i & 1 -1 & i

i v1 + v2 = 0 - v1 + i v2 = 0
]
Resolvendo o sistema:
1 -i
Da primeira equação, temos . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor associado a é .
Para :

[
[T]_C - \lambda_2 I =


]
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, temos . Escolhendo , então . Assim, um autovetor associado a é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos concluir que a matriz é diagonalizável no campo dos números complexos 1 i , 1 -i , já que temos dois autovalores distintos e autovetores correspondentes linearmente independentes.
A base de autovetores é formada por D = 2 + i & 0 0 & 2 - i e :
A forma diagonal da matriz nessas bases será uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes:

Resposta

O operador linear é diagonalizável. Uma base de autovetores é 1 i e sua forma diagonal é
1 -i

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