Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n, dado por sua matriz [T]C em relação a base canônica C, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal.
[cc-4 & -1 3 & 0], K=R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que a gente tem aqui é um operador linear representado por uma matriz -4 & -1 3 & 0 no espaço vetorial . Nosso objetivo é descobrir se essa matriz é diagonalizável. Se for, vamos encontrar uma base formada por autovetores e a forma diagonal correspondente. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores, verificar suas multiplicidades e encontrar os autovetores associados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, é nossa matriz e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar o polinômio característico:
A - lambda I = -4 - lambda & -1 3 & 0 - lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (-4 - lambda)(-lambda) - (-1)(3) = 4lambda + lambda^2 + 3
Então, o polinômio característico é:
lambda^2 + 4lambda + 3 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 + 4lambda + 3 = (lambda + 1)(lambda + 3) = 0 para encontrar os autovalores. Podemos fatorar:
lambda1 = -1 e lambda2 = -3
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores, precisamos verificar se cada um tem a mesma multiplicidade geométrica que a multiplicidade algébrica. Se sim, a matriz é diagonalizável. Como temos dois autovalores distintos em um espaço de dimensão 2, a matriz é diagonalizável. Mas vamos confirmar encontrando os autovetores.

Passo 6

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A + I = -4 + 1 & -1 3 & 0 + 1 = -3 & -1 3 & 1 :
Resolvemos -3v1 - v2 = 0 3v1 + v2 = 0 :
v1 = 1 -3
Montamos o sistema:
A + 3I = -4 + 3 & -1 3 & 0 + 3 = -1 & -1 3 & 3
Essas equações são equivalentes, então podemos escolher - v1 - v2 = 0 3v1 + 3v2 = 0 , então v2 = 1 -1 . Portanto, um autovetor para é:
Para :
Resolvemos :
Montamos o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Escolhendo , então . Então, um autovetor para é:

Passo 7

Agora que temos os autovalores e os respectivos autovetores, podemos formar uma base de autovetores:
B = 1 -3 , 1 -1
A matriz de mudança de base para a base de autovetores será:
P = 1 & 1 -3 & -1
E a matriz diagonal correspondente será:
D = -1 & 0 0 & -3

Resposta

A matriz -4 & -1 3 & 0 é diagonalizável sobre 1 -3 . Uma base de autovetores é 1 -1 e sua forma diagonal é -1 & 0 0 & -3 .

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