Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear
, dado por sua matriz
em relação a base canônica
, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base de autovetores e sua forma diagonal.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que a gente tem aqui é um operador linear representado por uma matriz
no espaço vetorial
. Nosso objetivo é descobrir se essa matriz é diagonalizável. Se for, vamos encontrar uma base formada por autovetores e a forma diagonal correspondente. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores, verificar suas multiplicidades e encontrar os autovetores associados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por:
Aqui,
é nossa matriz e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar o polinômio característico:
Calculando o determinante:
Então, o polinômio característico é:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os autovalores. Podemos fatorar:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora que temos os autovalores, precisamos verificar se cada um tem a mesma multiplicidade geométrica que a multiplicidade algébrica. Se sim, a matriz é diagonalizável. Como temos dois autovalores distintos em um espaço de dimensão 2, a matriz é diagonalizável. Mas vamos confirmar encontrando os autovetores.
Passo 6
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Montamos o sistema:
Essas equações são equivalentes, então podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor para
é:
Para
:
Resolvemos
:
Montamos o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Escolhendo
, então
. Então, um autovetor para
é:
Passo 7
Agora que temos os autovalores e os respectivos autovetores, podemos formar uma base de autovetores:
A matriz de mudança de base para a base de autovetores será:
E a matriz diagonal correspondente será:
Resposta
A matriz
é diagonalizável sobre
. Uma base de autovetores é
e sua forma diagonal é
.