Resolva os seguintes sistemas por qualquer método.
(a) 2 I1-I2+3 I3+4 I4 & =9 I1-2 I3+7 I4 & =11 3 I1-3 I2+I3+5 I4 & =8 2 I1+I2+4 I3+4 I4 & =10

Passo 1

Beleza, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas: e . Vamos usar o método de eliminação de Gauss para resolver esse sistema. Isso envolve manipular as equações para isolar cada variável uma por uma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
2 I1 - I2 + 3 I3 + 4 I4 = 9 I1 - 2 I3 + 7 I4 = 11 3 I1 - 3 I2 + I3 + 5 I4 = 8 2 I1 + I2 + 4 I3 + 4 I4 = 10
Vamos começar eliminando uma variável de algumas equações para simplificar o sistema.

Passo 3

Vamos eliminar 1.5 times Equação 1: 3 I1 - 1.5 I2 + 4.5 I3 + 6 I4 = 13.5 das equações 3 e 4 usando a equação 1. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 1.5 (para igualar o coeficiente de Equação 3 - 1.5 times Equação 1: (3 I1 - 3 I2 + I3 + 5 I4) - (3 I1 - 1.5 I2 + 4.5 I3 + 6 I4) ) = 8 - 13.5 na equação 3) e subtraímos da equação 3:
-1.5 I2 - 3.5 I3 - I4 = -5.5 (Equação 5) çã
çãçã
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar 0.5 times Equação 1: I1 - 0.5 I2 + 1.5 I3 + 2 I4 = 4.5 da equação 4 usando a equação 1. Multiplicamos a equação 1 por 0.5 e subtraímos da equação 4:
Equação 4 - 0.5 times Equação 1: (2 I1 + I2 + 4 I3 + 4 I4) - (I1 - 0.5 I2 + 1.5 I3 + 2 I4) ) = 10 - 4.5 çã
I1 + 1.5 I2 + 2.5 I3 + 2 I4 = 5.5 (Equação 6) çãçã
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema menor com as equações 2, 5 e 6:
I1 - 2 I3 + 7 I4 = 11 (Equação 2) -1.5 I2 - 3.5 I3 - I4 = -5.5 (Equação 5) I1 + 1.5 I2 + 2.5 I3 + 2 I4 = 5.5 (Equação 6) çãçãçã
Vamos resolver a Equação 2 para I1 = 11 + 2 I3 - 7 I4 :
(11 + 2 I3 - 7 I4) + 1.5 I2 + 2.5 I3 + 2 I4 = 5.5
Agora, substituímos 11 + 2 I3 - 7 I4 + 1.5 I2 + 2.5 I3 + 2 I4 = 5.5 na Equação 6:
1.5 I2 + 4.5 I3 - 5 I4 = -5.5 (Equação 7)
Simplificando:
çã

Passo 6

Agora, temos duas equações com -1.5 I2 - 3.5 I3 - I4 = -5.5 (Equação 5) 1.5 I2 + 4.5 I3 - 5 I4 = -5.5 (Equação 7) e (-1.5 I2 - 3.5 I3 - I4) + (1.5 I2 + 4.5 I3 - 5 I4) = -5.5 + (-5.5)) :
I3 - 6 I4 = -11 (Equação 8) çãçã
Vamos somar Equação 5 e Equação 7 para eliminar I3 = 6 I4 - 11 :
Simplificando:
çã
Agora, podemos resolver a Equação 8 para :

Passo 7

Com I1 = 11 + 2(6 I4 - 11) - 7 I4 , vamos substituir na Equação 2 para encontrar I1 = 11 + 12 I4 - 22 - 7 I4 :
I1 = -11 + 5 I4

Passo 8

Agora, substituímos -1.5 I2 - 3.5 (6 I4 - 11) - I4 = -5.5 na Equação 5 para encontrar -1.5 I2 - 21 I4 + 38.5 - I4 = -5.5 :
-1.5 I2 - 22 I4 = -44
-1.5 I2 = 22 I4 - 44
I2 = 22 I4 - 44-1.5
I2 = -221.5 I4 + 441.5
I2 = -443 I4 + 883

Passo 9

Agora, temos expressões para I4 = 1 e I1 = -11 + 5(1) = -6 em termos de I3 = 6(1) - 11 = -5 . Vamos escolher um valor para I2 = -443(1) + 883 = 443 que satisfaça todas as equações. Para simplificar, assumimos :

Resposta

A solução do sistema é:
I1 = -6 I2 = dfrac443 I3 = -5 I4 = 1

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