Sejam V um C-espaço vetorial de dimensão finita T: V V linear tal que a matriz de T com relação a alguma base de V contenha apenas entradas reais. Mostre que se lambda é autovalor de T então barlambda também o é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um espaço vetorial sobre os números complexos, onde temos uma aplicação linear que, em alguma base, é representada por uma matriz com apenas números reais. A tarefa é mostrar que se é um autovalor de , então o seu conjugado complexo também é um autovalor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores, matrizes com entradas reais e propriedades dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Um autovalor de uma aplicação linear é um número tal que existe um vetor não nulo em onde . Agora, como a matriz de tem apenas entradas reais, isso significa que a aplicação preserva a estrutura real do espaço vetorial.

Passo 3

Sabemos que os autovalores de uma matriz com entradas reais podem ser reais ou complexos. Se forem complexos, eles sempre vêm em pares de números conjugados. Isso acontece porque os coeficientes reais garantem que, se é uma solução da equação característica, então também é solução.

Passo 4

Vamos considerar a equação característica da matriz de , que é , onde é a matriz identidade. Como os coeficientes dessa equação são reais (porque a matriz de tem entradas reais), se é uma raiz, então também deve ser uma raiz dessa equação.

Passo 5

Isso significa que se é um autovalor de , o seu conjugado complexo também satisfaz a equação característica, ou seja, . Portanto, também é um autovalor de .

Resposta

Assim, mostramos que se é um autovalor de , então o seu conjugado complexo também é um autovalor de .

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