Sejam V=F(R, R), f1, f2, f3 in V dados por f1(x)=e^2 x sen x, f2(x)=e^2 x cos x, f3(x)=e^2 x, e W=[f1, f2, f3]. Considere D: W W o operador linear definido por D(f)=f^prime.
Mostre que B=f1, f2, f3 é base de W.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial f1(x) = e^2x cdot sen x, f2(x) = e^2x cdot cos x, f3(x) = e^2x , que é basicamente o conjunto de todas as funções reais que recebem números reais e retornam números reais. Dentro desse espaço, temos três funções dadas:
O conjunto representa todas as combinações lineares dessas três funções. O operador linear é definido como derivada, ou seja, .
O que a questão quer é que a gente mostre que o conjunto forma uma base para . Para isso, precisamos entender um pouco sobre bases em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço. Gerar o espaço quer dizer que qualquer elemento do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
No nosso caso, já sabemos que é gerado por , ou seja, . Então, para mostrar que é uma base, só precisamos provar que essas três funções são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos falar sobre independência linear. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, queremos mostrar que se:
c1 f1(x) + c2 f2(x) + c3 f3(x) = 0 forall x in R
então necessariamente .

Passo 4

Vamos montar essa combinação:
Podemos fatorar c1 e^2x sen x + c2 e^2x cos x + c3 e^2x = 0 (que nunca é zero) para simplificar:
Como e^2x (c1 sen x + c2 cos x + c3) = 0 para todo c1 sen x + c2 cos x + c3 = 0 forall x in R , a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar essa equação. Queremos que ela valha para todo c1 sen 0 + c2 cos 0 + c3 = 0 Rightarrow 0 + c2(1) + c3 = 0 Rightarrow c2 + c3 = 0 . Vamos escolher valores estratégicos de c1 sen pi2 + c2 cos pi2 + c3 = 0 Rightarrow c1(1) + c2(0) + c3 = 0 Rightarrow c1 + c3 = 0 para encontrar os coeficientes c1 sen pi + c2 cos pi + c3 = 0 Rightarrow 0 + c2(-1) + c3 = 0 Rightarrow -c2 + c3 = 0 .
Escolha :
Escolha :
Escolha :

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
c2 + c3 = 0 c1 + c3 = 0 -c2 + c3 = 0
Vamos resolver:
Da primeira equação: .
Da terceira equação: .
Então, .
Da segunda equação: .

Passo 7

Chegamos à conclusão de que é a única solução para a combinação linear igual a zero. Isso significa que as funções são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, é uma base de porque são linearmente independentes e geram o espaço .

Exercícios relacionados