Sejam dados por , e . Considere o operador linear definido por .
Mostre que é base de .
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é basicamente o conjunto de todas as funções reais que recebem números reais e retornam números reais. Dentro desse espaço, temos três funções dadas:
O conjunto representa todas as combinações lineares dessas três funções. O operador linear é definido como derivada, ou seja, .
O que a questão quer é que a gente mostre que o conjunto forma uma base para . Para isso, precisamos entender um pouco sobre bases em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço. Gerar o espaço quer dizer que qualquer elemento do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
No nosso caso, já sabemos que é gerado por , ou seja, . Então, para mostrar que é uma base, só precisamos provar que essas três funções são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos falar sobre independência linear. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, queremos mostrar que se:
então necessariamente .
Passo 4
Vamos montar essa combinação:
Podemos fatorar (que nunca é zero) para simplificar:
Como para todo , a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar essa equação. Queremos que ela valha para todo . Vamos escolher valores estratégicos de para encontrar os coeficientes .
Escolha :
Escolha :
Escolha :
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver:
Da primeira equação: .
Da terceira equação: .
Então, .
Da segunda equação: .
Passo 7
Chegamos à conclusão de que é a única solução para a combinação linear igual a zero. Isso significa que as funções são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, é uma base de porque são linearmente independentes e geram o espaço .